Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.1. Вторая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а третья — на три равные части точками $K$ и $P$. Найдите длину дуги:

a) $AM$;

б) $BK$;

в) $PM$;

г) $PK$.

Для решения задачи примем, что речь идет о единичной тригонометрической окружности, где длина дуги равна ее угловой мере в радианах. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Окружность разделена на четыре четверти, длина дуги каждой четверти равна $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Определим угловые координаты заданных точек:

• Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.
• Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Длина дуги: $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
• Третья четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Длина дуги: $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$.
• Четвертая четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.

Точка M делит вторую четверть на две равные части. Длина каждой части равна $\frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. Координата точки M равна углу начала второй четверти плюс длина одной части: $\alpha_M = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Точки K и P делят третью четверть на три равные части. Длина каждой части равна $\frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}$. Предполагая, что точки идут в порядке K, P при движении против часовой стрелки:

• Координата точки K: $\alpha_K = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
• Координата точки P: $\alpha_P = \pi + 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

В вопросах также упоминаются точки A и B, которые в стандартной тригонометрии соответствуют:

• Точка A: начало отсчета, угол $\alpha_A = 0$.
• Точка B: конец первой четверти, угол $\alpha_B = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем длины указанных дуг.

а) AM
Длина дуги AM равна разности угловых координат точек M и A. Движение происходит против часовой стрелки.
$\text{Длина дуги AM} = \alpha_M - \alpha_A = \frac{3\pi}{4} - 0 = \frac{3\pi}{4}$.
Это также можно посчитать как сумму длин первой четверти и половины второй четверти: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б) BK
Длина дуги BK равна разности угловых координат точек K и B.
$\text{Длина дуги BK} = \alpha_K - \alpha_B = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
Это также можно посчитать как сумму длин второй четверти и первой трети третьей четверти: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в) PM
Найдем длину кратчайшей дуги между точками P и M. Поскольку точка P находится в третьей четверти, а точка M — во второй, кратчайший путь будет при движении по часовой стрелке от P к M (или против часовой стрелки от M к P). Длина дуги равна разности их угловых координат.
$\text{Длина дуги PM} = \alpha_P - \alpha_M = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{16\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

г) PK
Длина дуги PK равна модулю разности угловых координат точек P и K.
$\text{Длина дуги PK} = |\alpha_P - \alpha_K| = |\frac{4\pi}{3} - \frac{7\pi}{6}| = |\frac{8\pi}{6} - \frac{7\pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$.
Этот результат ожидаем, так как дуга между точками K и P — это одна из трех равных частей, на которые разделена третья четверть.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

11.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а четвёртая — на три равные части точками $K$ и $P$.

Найдите длину дуги:

а) $DM$;

б) $BK$;

в) $PM$;

г) $PC$.

Для решения задачи примем, что окружность имеет радиус $R$. Длина всей окружности равна $L = 2\pi R$. Окружность разделена на четыре равные четверти, которые мы можем обозначить как дуги AB (первая), BC (вторая), CD (третья) и DA (четвертая). Длина каждой такой дуги-четверти составляет $\frac{L}{4} = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}$.

Согласно условию, первая четверть (дуга AB) разделена точкой M на две равные части. Следовательно, длины дуг AM и MB равны: $\text{длина дуги } AM = \text{длина дуги } MB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi R}{4}$.

Четвертая четверть (дуга DA) разделена точками K и P на три равные части. Будем считать, что точки на окружности расположены в порядке D, K, P, A. Следовательно, длины дуг DK, KP и PA равны: $\text{длина дуги } DK = \text{длина дуги } KP = \text{длина дуги } PA = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi R}{6}$.

В расчетах мы будем находить длину кратчайшей дуги, соединяющей указанные точки.

а) DM;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки D и M, проходит через точки K, P и A. Её длина складывается из длин составляющих её дуг: дуги DA (четвертая четверть) и дуги AM.

$\text{Длина дуги } DA = \text{дуга } DK + \text{дуга } KP + \text{дуга } PA = 3 \cdot \frac{\pi R}{6} = \frac{\pi R}{2}$.

Тогда длина искомой дуги DM равна:

$\text{Длина дуги } DM = \text{дуга } DA + \text{дуга } AM = \frac{\pi R}{2} + \frac{\pi R}{4} = \frac{2\pi R}{4} + \frac{\pi R}{4} = \frac{3\pi R}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi R}{4}$

б) BK;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки B и K, проходит через точку A. Её длина равна сумме длин дуг BA (первая четверть) и AK.

Длину дуги AK найдем как сумму длин дуг AP и PK:

$\text{Длина дуги } AK = \text{дуга } AP + \text{дуга } PK = \frac{\pi R}{6} + \frac{\pi R}{6} = \frac{2\pi R}{6} = \frac{\pi R}{3}$.

Тогда искомая длина дуги BK равна:

$\text{Длина дуги } BK = \text{дуга } BA + \text{дуга } AK = \frac{\pi R}{2} + \frac{\pi R}{3} = \frac{3\pi R}{6} + \frac{2\pi R}{6} = \frac{5\pi R}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi R}{6}$

в) PM;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки P и M, проходит через точку A. Её длина равна сумме длин дуг PA и AM.

$\text{Длина дуги } PM = \text{дуга } PA + \text{дуга } AM = \frac{\pi R}{6} + \frac{\pi R}{4} = \frac{2\pi R}{12} + \frac{3\pi R}{12} = \frac{5\pi R}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi R}{12}$

г) PC;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки P и C, проходит через точки K и D. Её длина равна сумме длин дуг PD и DC. Дуга DC является третьей четвертью, её длина $\frac{\pi R}{2}$.

Длину дуги PD найдем как сумму длин дуг PK и KD:

$\text{Длина дуги } PD = \text{дуга } PK + \text{дуга } KD = \frac{\pi R}{6} + \frac{\pi R}{6} = \frac{2\pi R}{6} = \frac{\pi R}{3}$.

Тогда искомая длина дуги PC равна:

$\text{Длина дуги } PC = \text{дуга } PD + \text{дуга } DC = \frac{\pi R}{3} + \frac{\pi R}{2} = \frac{2\pi R}{6} + \frac{3\pi R}{6} = \frac{5\pi R}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi R}{6}$

11.3. Третья четверть разделена точкой $M$ в отношении 2 : 3,

первая — точкой $P$ в отношении 1 : 5. Найдите длину дуги:

а) $CM$;

б) $AP$;

в) $PM$;

г) $MP$.

Для решения задачи примем, что речь идет о единичной окружности, на которой длина дуги измеряется в радианах. Длина всей окружности равна $2\pi$. Окружность разделена на четыре четверти, длина дуги каждой четверти равна $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Обозначим точки, разделяющие четверти, двигаясь против часовой стрелки от положительной оси абсцисс:

• Точка A: начало отсчета, угол 0 радиан.
• Точка B: конец первой четверти, угол $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Точка C: конец второй четверти, угол $\pi$ радиан.
• Точка D: конец третьей четверти, угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

а) CM:

Третья четверть представляет собой дугу CD, которая начинается в точке C (угол $\pi$) и заканчивается в точке D (угол $\frac{3\pi}{2}$). Длина этой дуги равна $\frac{\pi}{2}$. Точка M делит эту дугу в отношении $2:3$, считая от точки C. Это означает, что дуга CD разделена на $2+3=5$ равных частей. Длина дуги CM составляет 2 из этих 5 частей.

Длина дуги CM = $\frac{\pi}{2} \times \frac{2}{2+3} = \frac{\pi}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{\pi}{5}$.

б) AP:

Первая четверть представляет собой дугу AB, которая начинается в точке A (угол 0) и заканчивается в точке B (угол $\frac{\pi}{2}$). Длина этой дуги равна $\frac{\pi}{2}$. Точка P делит эту дугу в отношении $1:5$, считая от точки A. Это означает, что дуга AB разделена на $1+5=6$ равных частей. Длина дуги AP составляет 1 из этих 6 частей.

Длина дуги AP = $\frac{\pi}{2} \times \frac{1}{1+5} = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

в) PM:

Длина дуги PM — это длина пути по окружности от точки P до точки M в направлении против часовой стрелки. Чтобы ее найти, сначала определим угловое положение точек P и M.

Угловое положение точки P равно длине дуги AP, так как отсчет ведется от точки A (угол 0):

Угол P = $0 + \text{длина дуги AP} = \frac{\pi}{12}$.

Угловое положение точки M равно сумме угла точки C и длины дуги CM:

Угол M = $\pi + \text{длина дуги CM} = \pi + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$.

Теперь найдем длину дуги PM как разность угловых координат:

Длина дуги PM = Угол M - Угол P = $\frac{6\pi}{5} - \frac{\pi}{12}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{12 \times 6\pi}{60} - \frac{5 \times \pi}{60} = \frac{72\pi - 5\pi}{60} = \frac{67\pi}{60}$.

Ответ: $\frac{67\pi}{60}$.

г) MP:

Длина дуги MP — это длина пути по окружности от точки M до точки P в направлении против часовой стрелки. Эта дуга вместе с дугой PM составляет полную окружность. Следовательно, ее длину можно найти, вычтя длину дуги PM из длины полной окружности ($2\pi$).

Длина дуги MP = $2\pi - \text{длина дуги PM} = 2\pi - \frac{67\pi}{60} = \frac{120\pi}{60} - \frac{67\pi}{60} = \frac{53\pi}{60}$.

Другой способ — сложить длины дуг, составляющих путь от M до P: дуга MD, дуга четвертой четверти (DA) и дуга AP.

Длина дуги MD = (Длина третьей четверти) - (Длина дуги CM) = $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi-2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$.

Длина дуги DA (четвертая четверть) = $\frac{\pi}{2}$.

Длина дуги AP = $\frac{\pi}{12}$.

Длина дуги MP = $\frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{18\pi}{60} + \frac{30\pi}{60} + \frac{5\pi}{60} = \frac{18\pi + 30\pi + 5\pi}{60} = \frac{53\pi}{60}$.

Ответ: $\frac{53\pi}{60}$.

11.4. Можно ли найти на единичной окружности точку $E$ с указанной ниже длиной дуги $AE$? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка $E$:

а) $AE = 2$;

б) $AE = \sqrt{8\pi}$;

в) $AE = 6,3$;

г) $AE = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.

Да, для любой указанной неотрицательной длины дуги можно найти соответствующую точку E на единичной окружности. На единичной окружности (окружности с радиусом $R=1$) длина дуги численно равна величине центрального угла в радианах, который эта дуга стягивает. Будем считать, что отсчет дуги $AE$ начинается от точки $A(1, 0)$ против часовой стрелки.

Для определения четверти, в которой расположена точка E, необходимо сравнить длину дуги с граничными значениями углов для координатных четвертей.
I четверть: от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ радиан.
II четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$ радиан.
III четверть: от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ радиан.
IV четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$ радиан.
Если длина дуги превышает $2\pi$, положение точки определяется углом, равным остатку от деления длины дуги на $2\pi$.

a) $AE = 2$
Длина дуги соответствует углу $\alpha = 2$ радиана. Для определения четверти сравним это значение с границами: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Неравенство $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ показывает, что точка E находится во второй четверти.
Ответ: Да, II четверть.

б) $AE = \sqrt{8\pi}$
Длина дуги соответствует углу $\alpha = \sqrt{8\pi}$ радиан. Оценим его значение: $\alpha = \sqrt{8\pi} \approx \sqrt{8 \times 3,1416} = \sqrt{25,1328} \approx 5,013$. Сравним это значение с границами: $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$. Неравенство $\frac{3\pi}{2} < \sqrt{8\pi} < 2\pi$ показывает, что точка E находится в четвертой четверти.
Ответ: Да, IV четверть.

в) $AE = 6,3$
Длина дуги $\alpha = 6,3$ радиана больше длины полной окружности $2\pi \approx 6,2832$. Чтобы найти положение точки, определим эквивалентный угол $\alpha'$ в диапазоне от 0 до $2\pi$: $\alpha' = 6,3 - 2\pi \approx 6,3 - 6,2832 = 0,0168$ радиан. Этот угол находится в интервале от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Следовательно, точка E расположена в первой четверти.
Ответ: Да, I четверть.

г) $AE = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
Сначала упростим выражение для длины дуги, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}+1)$: $AE = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$. Длина дуги соответствует углу $\alpha = 2+\sqrt{3}$ радиан. Оценим его значение: $\alpha \approx 2 + 1,732 = 3,732$. Сравним с границами: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$. Неравенство $\pi < 2+\sqrt{3} < \frac{3\pi}{2}$ показывает, что точка Е находится в третьей четверти.
Ответ: Да, III четверть.

11.5. а) К радиусам $OA$ и $OC$ проведены серединные перпендикуляры соответственно $MN$ и $PQ$ (рис. 42). Чему равен центральный угол $AOM$? Найдите длину хорды $MN$. Найдите длину дуги $QN$. Докажите, что точки $A$, $M$, $P$, $C$, $Q$, $N$ делят окружность на шесть равных частей.

б) К радиусам $OB$ и $OD$ проведены серединные перпендикуляры $LK$ и $TS$ соответственно (рис. 43). Чему равен центральный угол $KOB$? Найдите длину хорды $KL$. Найдите длину дуги $TL$. Докажите, что точки $K$, $B$, $L$, $T$, $D$, $S$ делят окружность на шесть равных частей.

Рис. 42

Рис. 43

Рассмотрим окружность на рисунке 42 с центром в точке O. Примем сторону клетки координатной сетки за 1 единицу. Тогда радиус окружности R, равный длинам отрезков OA и OC, составляет 2 единицы.

По условию, прямая, содержащая хорду MN, является серединным перпендикуляром к радиусу OA. Это означает, что она перпендикулярна OA и проходит через его середину. Так как OA лежит на оси абсцисс, его середина имеет координаты (1, 0), а прямая MN задается уравнением $x=1$.

Аналогично, прямая, содержащая хорду PQ, является серединным перпендикуляром к радиусу OC. Середина OC имеет координаты (-1, 0), а прямая PQ задается уравнением $x=-1$.

Чему равен центральный угол AOM?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?OMH, где M — точка на окружности, а H — точка пересечения прямой MN и радиуса OA. H имеет координаты (1, 0). В этом треугольнике гипотенуза OM является радиусом окружности (OM = R = 2), а катет OH равен расстоянию от центра до прямой MN (OH = 1). Косинус угла AOM (который совпадает с углом MOH) равен: $cos(?AOM) = \frac{OH}{OM} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $?AOM = arccos(\frac{1}{2}) = 60°$.

Ответ: центральный угол AOM равен 60°.

Найдите длину хорды MN.

Точки M и N лежат на окружности $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ и на прямой $x=1$. Подставив $x=1$ в уравнение окружности, найдем y-координаты этих точек: $1^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = ±\sqrt{3}$.

Таким образом, координаты точек: M(1, $\sqrt{3}$) и N(1, $-\sqrt{3}$). Длина хорды MN — это расстояние между этими точками, которое равно $ \sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} $.

Ответ: длина хорды MN равна $2\sqrt{3}$.

Найдите длину дуги QN.

Сначала найдем центральный угол $?QON$. Координаты точки N мы уже знаем: N(1, $-\sqrt{3}$). Точка Q лежит на прямой $x=-1$ и на окружности. Ее y-координата (из рисунка видно, что она отрицательная) равна $-\sqrt{3}$. Таким образом, координаты точки Q(-1, $-\sqrt{3}$).

Рассмотрим треугольник ?QON. Его стороны OQ и ON являются радиусами, т.е. OQ = ON = 2. Длину стороны QN найдем как расстояние между точками Q и N: $QN = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.

Поскольку все стороны треугольника ?QON равны 2, он является равносторонним, и все его углы равны 60°. Значит, центральный угол $?QON = 60°$.

Длина дуги вычисляется по формуле $L = R \cdot \alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах. Переведем 60° в радианы: $60° = \frac{\pi}{3}$ рад. $L_{QN} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: длина дуги QN равна $\frac{2\pi}{3}$.

Докажите, что точки A, M, P, C, Q, N делят окружность на шесть равных частей.

Для доказательства достаточно показать, что центральные углы между всеми соседними точками равны. Найдем угловые положения всех точек, отсчитывая угол против часовой стрелки от луча OA:

• Точка A: 0°
• Точка M: $?AOM = 60°$
• Точка P: лежит на прямой $x=-1$, y>0. Координаты P(-1, $\sqrt{3}$). Угол 120°.
• Точка C: 180°
• Точка Q: Координаты Q(-1, $-\sqrt{3}$). Угол 240°.
• Точка N: Координаты N(1, $-\sqrt{3}$). Угол 300°.

Вычислим углы между соседними точками: $?AOM = 60°$, $?MOP = 120°-60°=60°$, $?POC = 180°-120°=60°$, $?COQ = 240°-180°=60°$, $?QON = 300°-240°=60°$, $?NOA = 360°-300°=60°$.

Все центральные углы равны 60°, следовательно, дуги между этими точками также равны. Таким образом, точки A, M, P, C, Q, N делят окружность на шесть равных частей.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим окружность на рисунке 43. Аналогично пункту а), радиус окружности R равен 2. Радиусы OB и OD лежат на оси ординат.

Прямая LK — серединный перпендикуляр к радиусу OB (с серединой в точке (0, 1)), следовательно, ее уравнение $y=1$.

Прямая TS — серединный перпендикуляр к радиусу OD (с серединой в точке (0, -1)), следовательно, ее уравнение $y=-1$.

Чему равен центральный угол KOB?

Точка K лежит на окружности $x^2 + y^2 = 4$ и на прямой $y=1$. Найдем ее x-координату: $x^2 + 1^2 = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3}$ (так как K во второй четверти). Координаты K($-\sqrt{3}$, 1). Координаты B(0, 2).

Найдем косинус угла KOB через скалярное произведение векторов $\vec{OK}$ и $\vec{OB}$: $cos(?KOB) = \frac{\vec{OK} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OK}| \cdot |\vec{OB}|} = \frac{(-\sqrt{3} \cdot 0) + (1 \cdot 2)}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $?KOB = 60°$.

Ответ: центральный угол KOB равен 60°.

Найдите длину хорды KL.

Точки K и L лежат на прямой $y=1$. Мы знаем x-координату K: $x_K = -\sqrt{3}$. Точка L симметрична K относительно оси Oy, ее координаты L($\sqrt{3}$, 1). Длина хорды KL — это расстояние между K и L: $KL = \sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.

Ответ: длина хорды KL равна $2\sqrt{3}$.

Найдите длину дуги TL.

Сначала найдем центральный угол $?TOL$. Координаты L($\sqrt{3}$, 1). Точка T лежит на прямой $y=-1$. Ее x-координата (из рисунка видно, что она положительная) равна $\sqrt{3}$. Координаты T($\sqrt{3}$, -1).

Рассмотрим треугольник ?TOL. Стороны OT и OL равны радиусу, т.е. OT = OL = 2. Длина стороны TL равна $1 - (-1) = 2$. Треугольник ?TOL является равносторонним, значит, центральный угол $?TOL = 60°$.

Длина дуги $L_{TL} = R \cdot \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: длина дуги TL равна $\frac{2\pi}{3}$.

Докажите, что точки K, B, L, T, D, S делят окружность на шесть равных частей.

Найдем угловые положения всех точек, отсчитывая угол против часовой стрелки от положительного направления оси Ох (луча ОА):

• Точка L: ($\sqrt{3}$, 1) $\implies$ угол 30°
• Точка B: (0, 2) $\implies$ угол 90°
• Точка K: ($-\sqrt{3}$, 1) $\implies$ угол 150°
• Точка S: лежит на прямой $y=-1$, x<0. Координаты S($-\sqrt{3}$, -1). Угол 210°.
• Точка D: (0, -2) $\implies$ угол 270°
• Точка T: ($\sqrt{3}$, -1) $\implies$ угол 330°

Расположим точки по порядку их обхода по окружности (L, B, K, S, D, T) и вычислим углы между соседними: $?LOB = 90°-30°=60°$, $?BOK = 150°-90°=60°$, $?KOS = 210°-150°=60°$, $?SOD = 270°-210°=60°$, $?DOT = 330°-270°=60°$, $?TOL = 360°-330°+30°=60°$.

Все центральные углы между соседними точками равны 60°, значит, точки делят окружность на шесть равных частей.

Ответ: Доказано.