Номер 11.2, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а четвёртая — на три равные части точками $K$ и $P$.

Найдите длину дуги:

а) $DM$;

б) $BK$;

в) $PM$;

г) $PC$.

Для решения задачи примем, что окружность имеет радиус $R$. Длина всей окружности равна $L = 2\pi R$. Окружность разделена на четыре равные четверти, которые мы можем обозначить как дуги AB (первая), BC (вторая), CD (третья) и DA (четвертая). Длина каждой такой дуги-четверти составляет $\frac{L}{4} = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}$.

Согласно условию, первая четверть (дуга AB) разделена точкой M на две равные части. Следовательно, длины дуг AM и MB равны: $\text{длина дуги } AM = \text{длина дуги } MB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi R}{4}$.

Четвертая четверть (дуга DA) разделена точками K и P на три равные части. Будем считать, что точки на окружности расположены в порядке D, K, P, A. Следовательно, длины дуг DK, KP и PA равны: $\text{длина дуги } DK = \text{длина дуги } KP = \text{длина дуги } PA = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi R}{6}$.

В расчетах мы будем находить длину кратчайшей дуги, соединяющей указанные точки.

а) DM;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки D и M, проходит через точки K, P и A. Её длина складывается из длин составляющих её дуг: дуги DA (четвертая четверть) и дуги AM.

$\text{Длина дуги } DA = \text{дуга } DK + \text{дуга } KP + \text{дуга } PA = 3 \cdot \frac{\pi R}{6} = \frac{\pi R}{2}$.

Тогда длина искомой дуги DM равна:

$\text{Длина дуги } DM = \text{дуга } DA + \text{дуга } AM = \frac{\pi R}{2} + \frac{\pi R}{4} = \frac{2\pi R}{4} + \frac{\pi R}{4} = \frac{3\pi R}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi R}{4}$

б) BK;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки B и K, проходит через точку A. Её длина равна сумме длин дуг BA (первая четверть) и AK.

Длину дуги AK найдем как сумму длин дуг AP и PK:

$\text{Длина дуги } AK = \text{дуга } AP + \text{дуга } PK = \frac{\pi R}{6} + \frac{\pi R}{6} = \frac{2\pi R}{6} = \frac{\pi R}{3}$.

Тогда искомая длина дуги BK равна:

$\text{Длина дуги } BK = \text{дуга } BA + \text{дуга } AK = \frac{\pi R}{2} + \frac{\pi R}{3} = \frac{3\pi R}{6} + \frac{2\pi R}{6} = \frac{5\pi R}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi R}{6}$

в) PM;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки P и M, проходит через точку A. Её длина равна сумме длин дуг PA и AM.

$\text{Длина дуги } PM = \text{дуга } PA + \text{дуга } AM = \frac{\pi R}{6} + \frac{\pi R}{4} = \frac{2\pi R}{12} + \frac{3\pi R}{12} = \frac{5\pi R}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi R}{12}$

г) PC;

Кратчайшая дуга, соединяющая точки P и C, проходит через точки K и D. Её длина равна сумме длин дуг PD и DC. Дуга DC является третьей четвертью, её длина $\frac{\pi R}{2}$.

Длину дуги PD найдем как сумму длин дуг PK и KD:

$\text{Длина дуги } PD = \text{дуга } PK + \text{дуга } KD = \frac{\pi R}{6} + \frac{\pi R}{6} = \frac{2\pi R}{6} = \frac{\pi R}{3}$.

Тогда искомая длина дуги PC равна:

$\text{Длина дуги } PC = \text{дуга } PD + \text{дуга } DC = \frac{\pi R}{3} + \frac{\pi R}{2} = \frac{2\pi R}{6} + \frac{3\pi R}{6} = \frac{5\pi R}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi R}{6}$