Номер 11.5, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.5. а) К радиусам $OA$ и $OC$ проведены серединные перпендикуляры соответственно $MN$ и $PQ$ (рис. 42). Чему равен центральный угол $AOM$? Найдите длину хорды $MN$. Найдите длину дуги $QN$. Докажите, что точки $A$, $M$, $P$, $C$, $Q$, $N$ делят окружность на шесть равных частей.

б) К радиусам $OB$ и $OD$ проведены серединные перпендикуляры $LK$ и $TS$ соответственно (рис. 43). Чему равен центральный угол $KOB$? Найдите длину хорды $KL$. Найдите длину дуги $TL$. Докажите, что точки $K$, $B$, $L$, $T$, $D$, $S$ делят окружность на шесть равных частей.

Рис. 42

Рис. 43

Рассмотрим окружность на рисунке 42 с центром в точке O. Примем сторону клетки координатной сетки за 1 единицу. Тогда радиус окружности R, равный длинам отрезков OA и OC, составляет 2 единицы.

По условию, прямая, содержащая хорду MN, является серединным перпендикуляром к радиусу OA. Это означает, что она перпендикулярна OA и проходит через его середину. Так как OA лежит на оси абсцисс, его середина имеет координаты (1, 0), а прямая MN задается уравнением $x=1$.

Аналогично, прямая, содержащая хорду PQ, является серединным перпендикуляром к радиусу OC. Середина OC имеет координаты (-1, 0), а прямая PQ задается уравнением $x=-1$.

Чему равен центральный угол AOM?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?OMH, где M — точка на окружности, а H — точка пересечения прямой MN и радиуса OA. H имеет координаты (1, 0). В этом треугольнике гипотенуза OM является радиусом окружности (OM = R = 2), а катет OH равен расстоянию от центра до прямой MN (OH = 1). Косинус угла AOM (который совпадает с углом MOH) равен: $cos(?AOM) = \frac{OH}{OM} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $?AOM = arccos(\frac{1}{2}) = 60°$.

Ответ: центральный угол AOM равен 60°.

Найдите длину хорды MN.

Точки M и N лежат на окружности $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ и на прямой $x=1$. Подставив $x=1$ в уравнение окружности, найдем y-координаты этих точек: $1^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = ±\sqrt{3}$.

Таким образом, координаты точек: M(1, $\sqrt{3}$) и N(1, $-\sqrt{3}$). Длина хорды MN — это расстояние между этими точками, которое равно $ \sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} $.

Ответ: длина хорды MN равна $2\sqrt{3}$.

Найдите длину дуги QN.

Сначала найдем центральный угол $?QON$. Координаты точки N мы уже знаем: N(1, $-\sqrt{3}$). Точка Q лежит на прямой $x=-1$ и на окружности. Ее y-координата (из рисунка видно, что она отрицательная) равна $-\sqrt{3}$. Таким образом, координаты точки Q(-1, $-\sqrt{3}$).

Рассмотрим треугольник ?QON. Его стороны OQ и ON являются радиусами, т.е. OQ = ON = 2. Длину стороны QN найдем как расстояние между точками Q и N: $QN = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.

Поскольку все стороны треугольника ?QON равны 2, он является равносторонним, и все его углы равны 60°. Значит, центральный угол $?QON = 60°$.

Длина дуги вычисляется по формуле $L = R \cdot \alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах. Переведем 60° в радианы: $60° = \frac{\pi}{3}$ рад. $L_{QN} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: длина дуги QN равна $\frac{2\pi}{3}$.

Докажите, что точки A, M, P, C, Q, N делят окружность на шесть равных частей.

Для доказательства достаточно показать, что центральные углы между всеми соседними точками равны. Найдем угловые положения всех точек, отсчитывая угол против часовой стрелки от луча OA:

• Точка A: 0°
• Точка M: $?AOM = 60°$
• Точка P: лежит на прямой $x=-1$, y>0. Координаты P(-1, $\sqrt{3}$). Угол 120°.
• Точка C: 180°
• Точка Q: Координаты Q(-1, $-\sqrt{3}$). Угол 240°.
• Точка N: Координаты N(1, $-\sqrt{3}$). Угол 300°.

Вычислим углы между соседними точками: $?AOM = 60°$, $?MOP = 120°-60°=60°$, $?POC = 180°-120°=60°$, $?COQ = 240°-180°=60°$, $?QON = 300°-240°=60°$, $?NOA = 360°-300°=60°$.

Все центральные углы равны 60°, следовательно, дуги между этими точками также равны. Таким образом, точки A, M, P, C, Q, N делят окружность на шесть равных частей.

Ответ: Доказано.

Рассмотрим окружность на рисунке 43. Аналогично пункту а), радиус окружности R равен 2. Радиусы OB и OD лежат на оси ординат.

Прямая LK — серединный перпендикуляр к радиусу OB (с серединой в точке (0, 1)), следовательно, ее уравнение $y=1$.

Прямая TS — серединный перпендикуляр к радиусу OD (с серединой в точке (0, -1)), следовательно, ее уравнение $y=-1$.

Чему равен центральный угол KOB?

Точка K лежит на окружности $x^2 + y^2 = 4$ и на прямой $y=1$. Найдем ее x-координату: $x^2 + 1^2 = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3}$ (так как K во второй четверти). Координаты K($-\sqrt{3}$, 1). Координаты B(0, 2).

Найдем косинус угла KOB через скалярное произведение векторов $\vec{OK}$ и $\vec{OB}$: $cos(?KOB) = \frac{\vec{OK} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OK}| \cdot |\vec{OB}|} = \frac{(-\sqrt{3} \cdot 0) + (1 \cdot 2)}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $?KOB = 60°$.

Ответ: центральный угол KOB равен 60°.

Найдите длину хорды KL.

Точки K и L лежат на прямой $y=1$. Мы знаем x-координату K: $x_K = -\sqrt{3}$. Точка L симметрична K относительно оси Oy, ее координаты L($\sqrt{3}$, 1). Длина хорды KL — это расстояние между K и L: $KL = \sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.

Ответ: длина хорды KL равна $2\sqrt{3}$.

Найдите длину дуги TL.

Сначала найдем центральный угол $?TOL$. Координаты L($\sqrt{3}$, 1). Точка T лежит на прямой $y=-1$. Ее x-координата (из рисунка видно, что она положительная) равна $\sqrt{3}$. Координаты T($\sqrt{3}$, -1).

Рассмотрим треугольник ?TOL. Стороны OT и OL равны радиусу, т.е. OT = OL = 2. Длина стороны TL равна $1 - (-1) = 2$. Треугольник ?TOL является равносторонним, значит, центральный угол $?TOL = 60°$.

Длина дуги $L_{TL} = R \cdot \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: длина дуги TL равна $\frac{2\pi}{3}$.

Докажите, что точки K, B, L, T, D, S делят окружность на шесть равных частей.

Найдем угловые положения всех точек, отсчитывая угол против часовой стрелки от положительного направления оси Ох (луча ОА):

• Точка L: ($\sqrt{3}$, 1) $\implies$ угол 30°
• Точка B: (0, 2) $\implies$ угол 90°
• Точка K: ($-\sqrt{3}$, 1) $\implies$ угол 150°
• Точка S: лежит на прямой $y=-1$, x<0. Координаты S($-\sqrt{3}$, -1). Угол 210°.
• Точка D: (0, -2) $\implies$ угол 270°
• Точка T: ($\sqrt{3}$, -1) $\implies$ угол 330°

Расположим точки по порядку их обхода по окружности (L, B, K, S, D, T) и вычислим углы между соседними: $?LOB = 90°-30°=60°$, $?BOK = 150°-90°=60°$, $?KOS = 210°-150°=60°$, $?SOD = 270°-210°=60°$, $?DOT = 330°-270°=60°$, $?TOL = 360°-330°+30°=60°$.

Все центральные углы между соседними точками равны 60°, значит, точки делят окружность на шесть равных частей.

Ответ: Доказано.