Номер 10.33, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.33. Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — некоторые взаимно обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения:

а) $f(x) = x$ и $g(x) = x$;

б) $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$?

Постройте график функции и определите, существует ли для неё обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте её аналитически:

а) f(x) = x и g(x) = x;

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — взаимно обратные функции. Это означает, что $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$ (обозначим ее $D_f$) и $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $g$ (обозначим ее $D_g$). Также известно, что область определения одной функции является областью значений другой: $D_f = E_g$ и $E_f = D_g$.

Рассмотрим уравнение $f(x) = x$. Пусть $x_0$ — корень этого уравнения. Тогда выполняется равенство $f(x_0) = x_0$. По определению, корень $x_0$ должен принадлежать области определения функции $f$, то есть $x_0 \in D_f$. Применим к обеим частям равенства $f(x_0) = x_0$ обратную функцию $g(x)$: $g(f(x_0)) = g(x_0)$. По определению обратной функции, $g(f(x_0)) = x_0$, так как $x_0 \in D_f$. Следовательно, мы получаем $x_0 = g(x_0)$. Это означает, что $x_0$ также является корнем уравнения $g(x) = x$. Таким образом, любой корень уравнения $f(x) = x$ является и корнем уравнения $g(x) = x$.

Теперь рассмотрим уравнение $g(x) = x$. Пусть $x_1$ — корень этого уравнения: $g(x_1) = x_1$. Корень $x_1$ должен принадлежать области определения $g$, то есть $x_1 \in D_g$. Применим к обеим частям равенства $g(x_1) = x_1$ функцию $f(x)$: $f(g(x_1)) = f(x_1)$. По определению обратной функции, $f(g(x_1)) = x_1$, так как $x_1 \in D_g$. Следовательно, мы получаем $x_1 = f(x_1)$. Это означает, что $x_1$ также является корнем уравнения $f(x) = x$. Таким образом, любой корень уравнения $g(x) = x$ является и корнем уравнения $f(x) = x$.

Поскольку множества корней этих уравнений полностью совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

б) f(g(x)) = x и g(f(x)) = x?

Рассмотрим уравнения $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$. Эти равенства являются тождествами, которые определяют взаимно обратные функции $f$ и $g$.

Уравнение $f(g(x)) = x$ верно для всех $x$ из области определения функции $g$, то есть для $x \in D_g$. Таким образом, множество решений этого уравнения есть $D_g$.

Уравнение $g(f(x)) = x$ верно для всех $x$ из области определения функции $f$, то есть для $x \in D_f$. Таким образом, множество решений этого уравнения есть $D_f$.

Уравнения являются равносильными, если множества их решений совпадают, то есть если $D_f = D_g$. Однако в общем случае область определения функции $f$ не обязана совпадать с областью определения ее обратной функции $g$.

Приведем контрпример. Пусть дана функция $f(x) = e^x$. Ее область определения $D_f = (-\infty; +\infty)$. Обратная к ней функция — $g(x) = \ln(x)$. Ее область определения $D_g = (0; +\infty)$. В этом случае $D_f \neq D_g$.

Множество решений уравнения $f(g(x)) = e^{\ln(x)} = x$ совпадает с $D_g$, то есть $x \in (0; +\infty)$. Множество решений уравнения $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ совпадает с $D_f$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку множества решений $(0; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$ не совпадают, данные уравнения не являются равносильными.
Ответ: Нет, в общем случае уравнения не являются равносильными.