Номер 10.35, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.35. a) $y = x|x|$;

б) $y = x^2 + 2|x|$;

В) $y = 2 - x|x|$;

Г) $y = x|x - 2|$.

а) $y = x|x|$

Для решения раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. В этом случае функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. В этом случае функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$.

Таким образом, мы получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции будет состоять из двух частей:
- При $x \ge 0$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2$ (это ее правая ветвь, расположенная в первой координатной четверти).
- При $x < 0$ график совпадает с графиком параболы $y = -x^2$ (это ее левая ветвь, расположенная в третьей координатной четверти).
Функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = x|x|$ представляет собой объединение ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

б) $y = x^2 + 2|x|$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, данную функцию можно представить в виде $y = |x|^2 + 2|x|$. Так как переменная $x$ входит в уравнение только под знаком модуля или в четной степени, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

Рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 + 2x$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
Для построения искомого графика мы берем часть параболы $y = x^2 + 2x$ только для $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, 0)$ и уходит вверх.
Для получения всего графика отражаем построенную часть симметрично относительно оси Oy. Часть графика для $x < 0$ будет соответствовать функции $y = x^2 - 2x$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2|x|$ симметричен относительно оси Oy и состоит из части параболы $y=x^2+2x$ для $x \ge 0$ и части параболы $y=x^2-2x$ для $x < 0$.

в) $y = 2 - x|x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = 2 - x \cdot x = 2 - x^2$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = 2 - x \cdot (-x) = 2 + x^2$.

Таким образом, мы получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2 + x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции будет состоять из двух частей:
- При $x \ge 0$ график совпадает с графиком параболы $y = 2 - x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз. Мы берем ее правую ветвь.
- При $x < 0$ график совпадает с графиком параболы $y = 2 + x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вверх. Мы берем ее левую ветвь.
Обе части графика соединяются в общей точке $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 - x|x|$ состоит из правой ветви параболы $y=2-x^2$ при $x \ge 0$ и левой ветви параболы $y=2+x^2$ при $x < 0$.

г) $y = x|x - 2|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-2$. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, это $x=2$.
1. Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Функция принимает вид $y = x(x - 2) = x^2 - 2x$.
2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Функция принимает вид $y = x(2 - x) = -x^2 + 2x$.

Таким образом, мы получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

График функции состоит из двух частей:
- При $x < 2$ график совпадает с графиком параболы $y = -x^2 + 2x$. Ее ветви направлены вниз. Вершина параболы: $x_v = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y_v = -(1)^2 + 2(1) = 1$. Вершина $(1, 1)$ принадлежит этому промежутку.
- При $x \ge 2$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$. Ее ветви направлены вверх. Вершина параболы: $x_v = -\frac{-2}{2(1)} = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина $(1, -1)$ не принадлежит этому промежутку.
Графики двух парабол соединяются в точке $x=2$. Найдем значение $y$ в этой точке: $y = 2|2-2| = 0$. Точка соединения - $(2,0)$.

Ответ: График функции $y = x|x - 2|$ состоит из части параболы $y=-x^2+2x$ (с вершиной в точке $(1, 1)$) при $x < 2$ и части параболы $y=x^2-2x$ при $x \ge 2$, которые соединяются в точке $(2,0)$.