Номер 11.1, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.1. Вторая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а третья — на три равные части точками $K$ и $P$. Найдите длину дуги:

a) $AM$;

б) $BK$;

в) $PM$;

г) $PK$.

Для решения задачи примем, что речь идет о единичной тригонометрической окружности, где длина дуги равна ее угловой мере в радианах. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Окружность разделена на четыре четверти, длина дуги каждой четверти равна $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Определим угловые координаты заданных точек:

• Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.
• Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Длина дуги: $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
• Третья четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Длина дуги: $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$.
• Четвертая четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.

Точка M делит вторую четверть на две равные части. Длина каждой части равна $\frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. Координата точки M равна углу начала второй четверти плюс длина одной части: $\alpha_M = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Точки K и P делят третью четверть на три равные части. Длина каждой части равна $\frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}$. Предполагая, что точки идут в порядке K, P при движении против часовой стрелки:

• Координата точки K: $\alpha_K = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
• Координата точки P: $\alpha_P = \pi + 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

В вопросах также упоминаются точки A и B, которые в стандартной тригонометрии соответствуют:

• Точка A: начало отсчета, угол $\alpha_A = 0$.
• Точка B: конец первой четверти, угол $\alpha_B = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем длины указанных дуг.

а) AM
Длина дуги AM равна разности угловых координат точек M и A. Движение происходит против часовой стрелки.
$\text{Длина дуги AM} = \alpha_M - \alpha_A = \frac{3\pi}{4} - 0 = \frac{3\pi}{4}$.
Это также можно посчитать как сумму длин первой четверти и половины второй четверти: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б) BK
Длина дуги BK равна разности угловых координат точек K и B.
$\text{Длина дуги BK} = \alpha_K - \alpha_B = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
Это также можно посчитать как сумму длин второй четверти и первой трети третьей четверти: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в) PM
Найдем длину кратчайшей дуги между точками P и M. Поскольку точка P находится в третьей четверти, а точка M — во второй, кратчайший путь будет при движении по часовой стрелке от P к M (или против часовой стрелки от M к P). Длина дуги равна разности их угловых координат.
$\text{Длина дуги PM} = \alpha_P - \alpha_M = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{16\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

г) PK
Длина дуги PK равна модулю разности угловых координат точек P и K.
$\text{Длина дуги PK} = |\alpha_P - \alpha_K| = |\frac{4\pi}{3} - \frac{7\pi}{6}| = |\frac{8\pi}{6} - \frac{7\pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$.
Этот результат ожидаем, так как дуга между точками K и P — это одна из трех равных частей, на которые разделена третья четверть.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.