Номер 11.4, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.4. Можно ли найти на единичной окружности точку $E$ с указанной ниже длиной дуги $AE$? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка $E$:

а) $AE = 2$;

б) $AE = \sqrt{8\pi}$;

в) $AE = 6,3$;

г) $AE = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.

Да, для любой указанной неотрицательной длины дуги можно найти соответствующую точку E на единичной окружности. На единичной окружности (окружности с радиусом $R=1$) длина дуги численно равна величине центрального угла в радианах, который эта дуга стягивает. Будем считать, что отсчет дуги $AE$ начинается от точки $A(1, 0)$ против часовой стрелки.

Для определения четверти, в которой расположена точка E, необходимо сравнить длину дуги с граничными значениями углов для координатных четвертей.
I четверть: от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ радиан.
II четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$ радиан.
III четверть: от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ радиан.
IV четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$ радиан.
Если длина дуги превышает $2\pi$, положение точки определяется углом, равным остатку от деления длины дуги на $2\pi$.

a) $AE = 2$
Длина дуги соответствует углу $\alpha = 2$ радиана. Для определения четверти сравним это значение с границами: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Неравенство $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ показывает, что точка E находится во второй четверти.
Ответ: Да, II четверть.

б) $AE = \sqrt{8\pi}$
Длина дуги соответствует углу $\alpha = \sqrt{8\pi}$ радиан. Оценим его значение: $\alpha = \sqrt{8\pi} \approx \sqrt{8 \times 3,1416} = \sqrt{25,1328} \approx 5,013$. Сравним это значение с границами: $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$. Неравенство $\frac{3\pi}{2} < \sqrt{8\pi} < 2\pi$ показывает, что точка E находится в четвертой четверти.
Ответ: Да, IV четверть.

в) $AE = 6,3$
Длина дуги $\alpha = 6,3$ радиана больше длины полной окружности $2\pi \approx 6,2832$. Чтобы найти положение точки, определим эквивалентный угол $\alpha'$ в диапазоне от 0 до $2\pi$: $\alpha' = 6,3 - 2\pi \approx 6,3 - 6,2832 = 0,0168$ радиан. Этот угол находится в интервале от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Следовательно, точка E расположена в первой четверти.
Ответ: Да, I четверть.

г) $AE = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
Сначала упростим выражение для длины дуги, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}+1)$: $AE = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$. Длина дуги соответствует углу $\alpha = 2+\sqrt{3}$ радиан. Оценим его значение: $\alpha \approx 2 + 1,732 = 3,732$. Сравним с границами: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$. Неравенство $\pi < 2+\sqrt{3} < \frac{3\pi}{2}$ показывает, что точка Е находится в третьей четверти.
Ответ: Да, III четверть.