Номер 11.8, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.8. а) $\frac{10\pi}{3}$;

б) $-\frac{17\pi}{4}$;

в) $\frac{31\pi}{6}$;

г) $-\frac{19\pi}{3}$.

а) Чтобы представить угол $\frac{10\pi}{3}$ в виде, удобном для определения его положения на единичной окружности, мы выделяем из него целое число полных оборотов, то есть слагаемое, кратное $2\pi$. Это позволяет найти основной угол, который определяет ту же точку на окружности.

Представим числитель 10 в виде суммы $6+4$, где 6 кратно знаменателю 3 и дает четное число пи при делении:

$\frac{10\pi}{3} = \frac{6\pi + 4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3}$.

Это означает, что угол $\frac{10\pi}{3}$ соответствует одному полному обороту ($2\pi$) против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{4\pi}{3}$. Таким образом, он coterminal (совпадает на единичной окружности) с углом $\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $2\pi + \frac{4\pi}{3}$.

б) Для отрицательного угла $-\frac{17\pi}{4}$ выполним аналогичные действия. Знак "минус" указывает на то, что вращение происходит по часовой стрелке.

Сначала рассмотрим положительную дробь $\frac{17\pi}{4}$. Представим 17 как $16+1$, где 16 кратно 4:

$\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$.

Теперь добавим знак "минус" ко всему выражению:

$-\frac{17\pi}{4} = -(4\pi + \frac{\pi}{4}) = -4\pi - \frac{\pi}{4}$.

Это соответствует двум полным оборотам по часовой стрелке ($-4\pi = -2 \cdot 2\pi$) и дополнительному повороту на угол $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-4\pi - \frac{\pi}{4}$.

в) Упростим угол $\frac{31\pi}{6}$.

Представим числитель 31 в виде суммы $30+1$, где 30 кратно 6:

$\frac{31\pi}{6} = \frac{30\pi + \pi}{6} = \frac{30\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 5\pi + \frac{\pi}{6}$.

Чтобы выделить полные обороты ($2\pi$), представим $5\pi$ как $4\pi + \pi$ (поскольку $4\pi$ кратно $2\pi$):

$5\pi + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{6\pi + \pi}{6} = 4\pi + \frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, угол $\frac{31\pi}{6}$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$) против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $4\pi + \frac{7\pi}{6}$.

г) Упростим отрицательный угол $-\frac{19\pi}{3}$.

Рассмотрим дробь $\frac{19\pi}{3}$. Представим 19 как $18+1$, где 18 кратно 3:

$\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = \frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$.

Теперь добавим знак "минус":

$-\frac{19\pi}{3} = -(6\pi + \frac{\pi}{3}) = -6\pi - \frac{\pi}{3}$.

Это соответствует трем полным оборотам по часовой стрелке ($-6\pi = -3 \cdot 2\pi$) и дополнительному повороту на угол $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-6\pi - \frac{\pi}{3}$.