Страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.6. a) $\frac{\pi}{2}$;

б) $-\pi$;

в) $4\pi$;

г) $-\frac{3\pi}{2}$.

Для перевода угловой меры из радиан в градусы используется формула, основанная на соотношении $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $. Чтобы найти градусную меру угла, нужно его радианную меру умножить на $ \frac{180^\circ}{\pi} $.

а) $ \frac{\pi}{2} $

Чтобы перевести $ \frac{\pi}{2} $ радиан в градусы, выполним следующее вычисление:

$ \frac{\pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $.

Ответ: $90^\circ$.

б) $ -\pi $

Для перевода $ -\pi $ радиан в градусы, используем ту же формулу:

$ -\pi \times \frac{180^\circ}{\pi} = -1 \times 180^\circ = -180^\circ $.

Ответ: $-180^\circ$.

в) $ 4\pi $

Переведем $ 4\pi $ радиан в градусы:

$ 4\pi \times \frac{180^\circ}{\pi} = 4 \times 180^\circ = 720^\circ $.

Ответ: $720^\circ$.

г) $ -\frac{3\pi}{2} $

Для перевода $ -\frac{3\pi}{2} $ радиан в градусы, выполним вычисление:

$ -\frac{3\pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{3 \times 180^\circ}{2} = -3 \times 90^\circ = -270^\circ $.

Ответ: $-270^\circ$.

11.7. a) $ \frac{\pi}{6}; $

б) $ -\frac{\pi}{3}; $

в) $ \frac{7\pi}{4}; $

г) $ -\frac{3\pi}{4}. $

Для перевода угла из радианной меры в градусную используется формула, которая следует из соотношения $ \pi \text{ радиан} = 180^{\circ} $. Для этого значение угла в радианах умножается на коэффициент $ \frac{180^{\circ}}{\pi} $.

а) Выполним перевод для угла $ \frac{\pi}{6} $:
$ \frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ} $.
Ответ: $ 30^{\circ} $.

б) Выполним перевод для угла $ -\frac{\pi}{3} $:
$ -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -\frac{180^{\circ}}{3} = -60^{\circ} $.
Ответ: $ -60^{\circ} $.

в) Выполним перевод для угла $ \frac{7\pi}{4} $:
$ \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^{\circ}}{4} = 7 \cdot 45^{\circ} = 315^{\circ} $.
Ответ: $ 315^{\circ} $.

г) Выполним перевод для угла $ -\frac{3\pi}{4} $:
$ -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -\frac{3 \cdot 180^{\circ}}{4} = -3 \cdot 45^{\circ} = -135^{\circ} $.
Ответ: $ -135^{\circ} $.

11.8. а) $\frac{10\pi}{3}$;

б) $-\frac{17\pi}{4}$;

в) $\frac{31\pi}{6}$;

г) $-\frac{19\pi}{3}$.

а) Чтобы представить угол $\frac{10\pi}{3}$ в виде, удобном для определения его положения на единичной окружности, мы выделяем из него целое число полных оборотов, то есть слагаемое, кратное $2\pi$. Это позволяет найти основной угол, который определяет ту же точку на окружности.

Представим числитель 10 в виде суммы $6+4$, где 6 кратно знаменателю 3 и дает четное число пи при делении:

$\frac{10\pi}{3} = \frac{6\pi + 4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3}$.

Это означает, что угол $\frac{10\pi}{3}$ соответствует одному полному обороту ($2\pi$) против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{4\pi}{3}$. Таким образом, он coterminal (совпадает на единичной окружности) с углом $\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $2\pi + \frac{4\pi}{3}$.

б) Для отрицательного угла $-\frac{17\pi}{4}$ выполним аналогичные действия. Знак "минус" указывает на то, что вращение происходит по часовой стрелке.

Сначала рассмотрим положительную дробь $\frac{17\pi}{4}$. Представим 17 как $16+1$, где 16 кратно 4:

$\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$.

Теперь добавим знак "минус" ко всему выражению:

$-\frac{17\pi}{4} = -(4\pi + \frac{\pi}{4}) = -4\pi - \frac{\pi}{4}$.

Это соответствует двум полным оборотам по часовой стрелке ($-4\pi = -2 \cdot 2\pi$) и дополнительному повороту на угол $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-4\pi - \frac{\pi}{4}$.

в) Упростим угол $\frac{31\pi}{6}$.

Представим числитель 31 в виде суммы $30+1$, где 30 кратно 6:

$\frac{31\pi}{6} = \frac{30\pi + \pi}{6} = \frac{30\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 5\pi + \frac{\pi}{6}$.

Чтобы выделить полные обороты ($2\pi$), представим $5\pi$ как $4\pi + \pi$ (поскольку $4\pi$ кратно $2\pi$):

$5\pi + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{6\pi + \pi}{6} = 4\pi + \frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, угол $\frac{31\pi}{6}$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$) против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $4\pi + \frac{7\pi}{6}$.

г) Упростим отрицательный угол $-\frac{19\pi}{3}$.

Рассмотрим дробь $\frac{19\pi}{3}$. Представим 19 как $18+1$, где 18 кратно 3:

$\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = \frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$.

Теперь добавим знак "минус":

$-\frac{19\pi}{3} = -(6\pi + \frac{\pi}{3}) = -6\pi - \frac{\pi}{3}$.

Это соответствует трем полным оборотам по часовой стрелке ($-6\pi = -3 \cdot 2\pi$) и дополнительному повороту на угол $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-6\pi - \frac{\pi}{3}$.

11.9. а) $\frac{\pi}{8}$;

б) $-\frac{\pi}{12}$;

в) $\frac{7\pi}{12}$;

г) $-\frac{11\pi}{8}$.

а) $\frac{\pi}{8}$

Для нахождения тригонометрических функций угла $\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулами половинного угла.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{4}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$. Угол $\frac{\pi}{8}$ (что равно 22.5°) находится в первой четверти, поэтому все его тригонометрические функции положительны.
Нам известны значения для угла $\frac{\pi}{4}$: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Синус:
$\sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$.

2. Косинус:
$\cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

3. Тангенс:
Можно использовать формулу $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$:
$\tan(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$.

4. Котангенс:
$\cot(\frac{\pi}{8}) = \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}-1$, $\cot(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1$.

б) $-\frac{\pi}{12}$

Для нахождения тригонометрических функций угла $-\frac{\pi}{12}$ используем свойства четности/нечетности функций и формулы разности углов.
Угол $-\frac{\pi}{12}$ (-15°) находится в четвертой четверти, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны. Представим $\frac{\pi}{12}$ как разность $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$. Воспользуемся вариантом $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

1. Синус (нечетная функция):
$\sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = -(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}) = -(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

2. Косинус (четная функция):
$\cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

3. Тангенс (нечетная функция):
$\tan(-\frac{\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sin(\frac{\pi}{12})}{\cos(\frac{\pi}{12})} = -\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = -\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = -\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = -\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.

4. Котангенс (нечетная функция):
$\cot(-\frac{\pi}{12}) = \frac{1}{\tan(-\frac{\pi}{12})} = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = -(\sqrt{3} + 2) = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$, $\cos(-\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$, $\tan(-\frac{\pi}{12})=\sqrt{3}-2$, $\cot(-\frac{\pi}{12})=-2-\sqrt{3}$.

в) $\frac{7\pi}{12}$

Для нахождения тригонометрических функций угла $\frac{7\pi}{12}$ воспользуемся формулами суммы углов.
Представим $\frac{7\pi}{12}$ как сумму $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{7\pi}{12}$ (105°) находится во второй четверти, поэтому синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Синус:
$\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

2. Косинус:
$\cos(\frac{7\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

3. Тангенс:
$\tan(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sin(\frac{7\pi}{12})}{\cos(\frac{7\pi}{12})} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{-(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = -\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = -\frac{6+2\sqrt{12}+2}{6-2} = -\frac{8+4\sqrt{3}}{4} = -(2+\sqrt{3}) = -2-\sqrt{3}$.

4. Котангенс:
$\cot(\frac{7\pi}{12}) = \frac{1}{\tan(\frac{7\pi}{12})} = \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = -\frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = -\frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.

Ответ: $\sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\cos(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$, $\tan(\frac{7\pi}{12})=-2-\sqrt{3}$, $\cot(\frac{7\pi}{12})=\sqrt{3}-2$.

г) $-\frac{11\pi}{8}$

Тригонометрические функции периодичны. Для синуса и косинуса период равен $2\pi$. Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:
$-\frac{11\pi}{8} + 2\pi = -\frac{11\pi}{8} + \frac{16\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$.
Следовательно, значения тригонометрических функций для угла $-\frac{11\pi}{8}$ будут такими же, как для угла $\frac{5\pi}{8}$. Угол $\frac{5\pi}{8}$ (112.5°) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Используем формулы половинного угла для $\frac{\alpha}{2} = \frac{5\pi}{8}$, откуда $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.
Значения для $\frac{5\pi}{4}$: $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Синус (положителен во второй четверти):
$\sin(\frac{5\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{5\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

2. Косинус (отрицателен во второй четверти):
$\cos(\frac{5\pi}{8}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(\frac{5\pi}{4})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$.

3. Тангенс:
$\tan(\frac{5\pi}{8}) = \frac{\sin(\frac{5\pi}{8})}{\cos(\frac{5\pi}{8})} = \frac{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{4 - 2}} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -(\sqrt{2} + 1) = -\sqrt{2} - 1$.

4. Котангенс:
$\cot(\frac{5\pi}{8}) = \frac{1}{\tan(\frac{5\pi}{8})} = \frac{1}{-(\sqrt{2} + 1)} = -\frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = -\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = -(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $\sin(-\frac{11\pi}{8})=\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $\cos(-\frac{11\pi}{8})=-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$, $\tan(-\frac{11\pi}{8})=-\sqrt{2}-1$, $\cot(-\frac{11\pi}{8})=1-\sqrt{2}$.

11.10. а) $1$;

б) $-2$;

в) $3,5$;

г) $-7$.

По всей видимости, в данном задании требуется найти целую часть каждого из представленных чисел. Целая часть числа $x$, также известная как функция «антье» или «пол», обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$. По определению, это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $[x] \le x < [x] + 1$.

а)

Найдём целую часть числа 1. Поскольку 1 является целым числом, его целая часть равна ему самому. Наибольшее целое число, не превосходящее 1, это 1.
$[1] = 1$.
Ответ: 1

б)

Найдём целую часть числа -2. Число -2 является целым, поэтому его целая часть равна самому этому числу. Наибольшее целое число, не превосходящее -2, это -2.
$[-2] = -2$.
Ответ: -2

в)

Найдём целую часть числа 3,5. Нам необходимо найти наибольшее целое число, которое меньше или равно 3,5. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., 2, 3. Наибольшее из них — это 3. Это также следует из неравенства $3 \le 3,5 < 4$.
$[3,5] = 3$.
Ответ: 3

г)

Найдём целую часть числа -7. Так как -7 является целым числом, его целая часть равна самому числу. Наибольшее целое число, не превосходящее -7, это -7.
$[-7] = -7$.
Ответ: -7

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая заданному числу?

11.11. а) $6$;
б) $-4,5$;
в) $3,3$;
г) $-5$.

Для определения четверти числовой окружности, которой принадлежит точка, соответствующая заданному числу (углу в радианах), необходимо сравнить это число с граничными значениями четвертей. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Границы четвертей на числовой окружности (при движении против часовой стрелки от 0):

• I-я четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ (приблизительно от 0 до 1,57)
• II-я четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (приблизительно от 1,57 до 3,14)
• III-я четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ (приблизительно от 3,14 до 4,71)
• IV-я четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ (приблизительно от 4,71 до 6,28)

Полный оборот по окружности составляет $2\pi \approx 6,28$ радиан. Для отрицательных чисел мы можем либо двигаться по часовой стрелке, либо прибавить к числу $2\pi$ (или кратное ему число), чтобы получить эквивалентное положительное значение в пределах одного оборота $[0, 2\pi)$.

а) 6;

Сравним число 6 с граничными значениями четвертей. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$, мы получаем неравенство $4,71 < 6 < 6,28$. Это означает, что угол 6 радиан находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$. Следовательно, точка, соответствующая числу 6, принадлежит IV четверти.

Ответ: IV четверть.

б) -4,5;

Для отрицательного числа -4,5 найдем соответствующую ему точку на основном интервале $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$.$-4,5 + 2\pi \approx -4,5 + 6,28 = 1,78$.Теперь определим четверть для числа 1,78. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, мы получаем неравенство $1,57 < 1,78 < 3,14$. Это означает, что угол находится в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Следовательно, точка, соответствующая числу -4,5, принадлежит II четверти.

Ответ: II четверть.

в) 3,3;

Сравним число 3,3 с граничными значениями. Так как $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, мы получаем неравенство $3,14 < 3,3 < 4,71$. Это означает, что угол находится в интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, точка, соответствующая числу 3,3, принадлежит III четверти.

Ответ: III четверть.

г) -5.

Для отрицательного числа -5 найдем соответствующую ему точку на основном интервале $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$.$-5 + 2\pi \approx -5 + 6,28 = 1,28$.Теперь определим четверть для числа 1,28. Так как $0 < 1,28$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, мы получаем неравенство $0 < 1,28 < 1,57$. Это означает, что угол находится в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, точка, соответствующая числу -5, принадлежит I четверти.

Ответ: I четверть.

11.12. a) 10;

б) -17;

в) 31;

г) -95.

Поскольку в задании не указано конкретное действие, которое необходимо выполнить с числами, наиболее вероятной задачей является нахождение противоположных чисел. Противоположными называются числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Сумма противоположных чисел равна нулю.

а)

Дано число 10. Это положительное число. Чтобы найти противоположное ему число, нужно изменить его знак на противоположный, то есть на минус. Таким образом, число, противоположное 10, это -10. Проверим, равна ли их сумма нулю: $10 + (-10) = 10 - 10 = 0$.

Ответ: -10

б)

Дано число -17. Это отрицательное число. Чтобы найти противоположное ему число, нужно изменить его знак на противоположный, то есть на плюс. Таким образом, число, противоположное -17, это 17. Проверим, равна ли их сумма нулю: $-17 + 17 = 0$.

Ответ: 17

в)

Дано число 31. Это положительное число. Чтобы найти противоположное ему число, необходимо поменять его знак на минус. Следовательно, число, противоположное 31, это -31. Проверим, равна ли их сумма нулю: $31 + (-31) = 31 - 31 = 0$.

Ответ: -31

г)

Дано число -95. Это отрицательное число. Чтобы найти противоположное ему число, необходимо поменять его знак на плюс. Соответственно, число, противоположное -95, это 95. Проверим, равна ли их сумма нулю: $-95 + 95 = 0$.

Ответ: 95

11.13. Укажите однозначное натуральное число, которому на числовой окружности (рис. 42) соответствует точка, наиболее близкая:

а) к точке $A$;

б) к точке $B$;

в) к точке $C$;

г) к точке $D$.

Для решения этой задачи мы будем находить, какое из однозначных натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) на числовой окружности расположено ближе всего к указанным точкам. Расстояние между двумя точками на числовой окружности — это кратчайшая длина дуги между ними.

Координаты (в радианах) основных точек на числовой окружности, соответствующие числам вида $t_0 + 2k\pi$ (где $k$ — целое число), имеют следующие приближенные значения (используя $\pi \approx 3,14$):

• Точка A (правая): $0, 2\pi \approx 6,28, 4\pi \approx 12,57, \ldots$
• Точка B (верхняя): $\frac{\pi}{2} \approx 1,57, \frac{5\pi}{2} \approx 7,85, \ldots$
• Точка C (левая): $\pi \approx 3,14, 3\pi \approx 9,42, \ldots$
• Точка D (нижняя): $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71, \frac{7\pi}{2} \approx 10,99, \ldots$

Мы будем сравнивать каждое из натуральных чисел от 1 до 9 с этими значениями, чтобы найти число с наименьшей разницей (расстоянием).

а) к точке А;

Точке A соответствуют числа $2k\pi$. Мы ищем натуральное число $n \in \{1, \ldots, 9\}$, для которого величина $|n - 2k\pi|$ минимальна. Будем сравнивать с $0$ (при $k=0$) и $2\pi \approx 6,28$ (при $k=1$).

Проанализируем числа, близкие к этим значениям:

• Расстояние от 1 до 0: $|1 - 0| = 1$.
• Расстояние от 6 до $2\pi$: $|6 - 6,28| = 0,28$.
• Расстояние от 7 до $2\pi$: $|7 - 6,28| = 0,72$.

Сравнивая все возможные расстояния, видим, что наименьшее из них — у числа 6. Расстояние до точки, соответствующей $2\pi$, составляет примерно 0,28.

Ответ: 6

б) к точке B;

Точке B соответствуют числа $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Будем сравнивать с $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ (при $k=0$) и $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$ (при $k=1$).

Проанализируем числа, близкие к этим значениям:

• Расстояние от 1 до $\frac{\pi}{2}$: $|1 - 1,57| = 0,57$.
• Расстояние от 2 до $\frac{\pi}{2}$: $|2 - 1,57| = 0,43$.
• Расстояние от 7 до $\frac{5\pi}{2}$: $|7 - 7,85| = 0,85$.
• Расстояние от 8 до $\frac{5\pi}{2}$: $|8 - 7,85| = 0,15$.

Наименьшее расстояние — у числа 8. Расстояние до точки, соответствующей $\frac{5\pi}{2}$, составляет примерно 0,15.

Ответ: 8

в) к точке C;

Точке C соответствуют числа $\pi + 2k\pi$. Будем сравнивать с $\pi \approx 3,14$ (при $k=0$) и $3\pi \approx 9,42$ (при $k=1$).

Проанализируем числа, близкие к этим значениям:

• Расстояние от 3 до $\pi$: $|3 - 3,14| = 0,14$.
• Расстояние от 4 до $\pi$: $|4 - 3,14| = 0,86$.
• Расстояние от 9 до $3\pi$: $|9 - 9,42| = 0,42$.

Наименьшее расстояние — у числа 3. Расстояние до точки, соответствующей $\pi$, составляет примерно 0,14.

Ответ: 3

г) к точке D.

Точке D соответствуют числа $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$. Будем сравнивать с $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ (при $k=0$).

Проанализируем числа, близкие к этому значению:

• Расстояние от 4 до $\frac{3\pi}{2}$: $|4 - 4,71| = 0,71$.
• Расстояние от 5 до $\frac{3\pi}{2}$: $|5 - 4,71| = 0,29$.

Наименьшее расстояние — у числа 5. Расстояние до точки, соответствующей $\frac{3\pi}{2}$, составляет примерно 0,29.

Ответ: 5