Страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.23. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:

а) $y = \begin{cases} 2x - 5, \text{ если } x \le 1 \\ x - 6, \text{ если } x > 1 \end{cases}$ на $(-\infty; 1]$, на $(1; +\infty)$, на $R$;

б) $y = \begin{cases} 5 - x, \text{ если } x \le 2 \\ 7 - 2x, \text{ если } x > 2 \end{cases}$ на $(-\infty; 2]$, на $(2; +\infty)$, на $R$;

в) $y = \begin{cases} 3x + 5, \text{ если } x \le 0 \\ x^2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$ на $(-\infty; 0]$, на $(0; +\infty)$, на $R$;

г) $y = \begin{cases} 3 - x, \text{ если } x \le 0 \\ 2 - 7x, \text{ если } x > 0 \end{cases}$ на $(-\infty; 0]$, на $(0; +\infty)$, на $R$.

а) Дана функция $y = \begin{cases} 2x - 5, & \text{если } x \le 1 \\ x - 6, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 1]$:

На этом промежутке функция задана формулой $y = 2x - 5$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она строго возрастает. Значит, обратная функция существует.

Найдем область значений функции на этом промежутке. Если $x \le 1$, то $2x \le 2$, и $2x - 5 \le -3$. Область значений: $(-\infty; -3]$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = 2x - 5 \Rightarrow 2x = y + 5 \Rightarrow x = \frac{y + 5}{2}$.

Меняя $x$ и $y$ местами, получаем обратную функцию $y = \frac{x + 5}{2}$. Ее область определения — это область значений исходной функции, то есть $(-\infty; -3]$.

Ответ: $y = \frac{x + 5}{2}$, при $x \in (-\infty; -3]$.

На промежутке $(1; +\infty)$:

На этом промежутке функция задана формулой $y = x - 6$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=1$, следовательно, она строго возрастает. Значит, обратная функция существует.

Найдем область значений. Если $x > 1$, то $x - 6 > 1 - 6 = -5$. Область значений: $(-5; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = x - 6 \Rightarrow x = y + 6$.

Меняя $x$ и $y$ местами, получаем обратную функцию $y = x + 6$. Ее область определения — $(-5; +\infty)$.

Ответ: $y = x + 6$, при $x \in (-5; +\infty)$.

На $\mathbf{R}$:

Чтобы функция имела обратную на всей числовой прямой, она должна быть строго монотонной. Проверим монотонность. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$ и на $(1; +\infty)$. Однако в точке $x=1$ происходит разрыв: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = 2(1) - 5 = -3$, а $\lim_{x \to 1^+} y(x) = 1 - 6 = -5$.

Функция не является монотонной на $\mathbf{R}$. Например, возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Имеем $x_1 < x_2$, но $y(1) = -3$, а $y(2) = 2 - 6 = -4$, то есть $y(1) > y(2)$. Также функция не является взаимно-однозначной. Например, значению $y = -4.5$ соответствуют два значения $x$: $2x - 5 = -4.5 \Rightarrow x=0.25$ и $x - 6 = -4.5 \Rightarrow x=1.5$. Следовательно, обратной функции на $\mathbf{R}$ не существует.

Ответ: обратной функции не существует.

б) Дана функция $y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x \le 2 \\ 7 - 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 2]$:

Функция $y = 5 - x$ является линейной с отрицательным коэффициентом $k=-1$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x \le 2$, $-x \ge -2$, $5-x \ge 3$. Область значений: $[3; +\infty)$.

Выразим $x$: $y = 5 - x \Rightarrow x = 5 - y$. Обратная функция: $y = 5 - x$ с областью определения $[3; +\infty)$.

Ответ: $y = 5 - x$, при $x \in [3; +\infty)$.

На промежутке $(2; +\infty)$:

Функция $y = 7 - 2x$ является линейной с отрицательным коэффициентом $k=-2$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x > 2$, $2x > 4$, $-2x < -4$, $7 - 2x < 3$. Область значений: $(-\infty; 3)$.

Выразим $x$: $y = 7 - 2x \Rightarrow 2x = 7 - y \Rightarrow x = \frac{7 - y}{2}$. Обратная функция: $y = \frac{7 - x}{2}$ с областью определения $(-\infty; 3)$.

Ответ: $y = \frac{7 - x}{2}$, при $x \in (-\infty; 3)$.

На $\mathbf{R}$:

Функция убывает на каждом из промежутков. Проверим непрерывность в точке $x=2$: $\lim_{x \to 2^-} y(x) = 5 - 2 = 3$. $\lim_{x \to 2^+} y(x) = 7 - 2(2) = 3$. $y(2) = 3$. Функция непрерывна в точке $x=2$ и убывает на всей области определения $\mathbf{R}$. Следовательно, обратная функция существует.

Область значений исходной функции на $\mathbf{R}$ есть объединение областей значений на $(-\infty; 2]$ и $(2; +\infty)$, то есть $(-\infty; 3) \cup [3; +\infty) = \mathbf{R}$.

Составим обратную функцию из найденных частей. Область определения обратной функции - $\mathbf{R}$. Если $x < 3$ (соответствует $y \in (-\infty; 3)$), то обратная функция $y = \frac{7 - x}{2}$. Если $x \ge 3$ (соответствует $y \in [3; +\infty)$), то обратная функция $y = 5 - x$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{7 - x}{2}, & \text{если } x < 3 \\ 5 - x, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$.

в) Дана функция $y = \begin{cases} 3x + 5, & \text{если } x \le 0 \\ x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 0]$:

Функция $y = 3x + 5$ является линейной с $k=3>0$, она строго возрастает. Обратная функция существует. Область значений: при $x \le 0$, $3x \le 0$, $3x + 5 \le 5$. Область значений: $(-\infty; 5]$.

Выразим $x$: $y = 3x + 5 \Rightarrow 3x = y - 5 \Rightarrow x = \frac{y - 5}{3}$. Обратная функция: $y = \frac{x - 5}{3}$ с областью определения $(-\infty; 5]$.

Ответ: $y = \frac{x - 5}{3}$, при $x \in (-\infty; 5]$.

На промежутке $(0; +\infty)$:

Функция $y = x^2$ при $x > 0$ строго возрастает. Обратная функция существует. Область значений: при $x > 0$, $x^2 > 0$. Область значений: $(0; +\infty)$.

Выразим $x$: $y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}$ (берем положительный корень, так как $x > 0$). Обратная функция: $y = \sqrt{x}$ с областью определения $(0; +\infty)$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \in (0; +\infty)$.

На $\mathbf{R}$:

Функция возрастает на каждом из промежутков. Проверим точку $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = 3(0) + 5 = 5$. $\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0^2 = 0$. Функция имеет разрыв. Она не является монотонной на $\mathbf{R}$. Например, $x_1 = -1 < x_2 = 1$, но $y(-1) = 3(-1)+5 = 2$, а $y(1) = 1^2 = 1$, то есть $y(-1) > y(1)$. Функция не является взаимно-однозначной, так как области значений $(-\infty; 5]$ и $(0; +\infty)$ пересекаются. Например, $y = 4$ достигается при $3x+5=4 \Rightarrow x=-1/3$ и при $x^2=4 \Rightarrow x=2$. Следовательно, обратной функции на $\mathbf{R}$ не существует.

Ответ: обратной функции не существует.

г) Дана функция $y = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \le 0 \\ 2 - 7x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 0]$:

Функция $y = 3 - x$ является линейной с $k=-1<0$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x \le 0$, $-x \ge 0$, $3 - x \ge 3$. Область значений: $[3; +\infty)$.

Выразим $x$: $y = 3 - x \Rightarrow x = 3 - y$. Обратная функция: $y = 3 - x$ с областью определения $[3; +\infty)$.

Ответ: $y = 3 - x$, при $x \in [3; +\infty)$.

На промежутке $(0; +\infty)$:

Функция $y = 2 - 7x$ является линейной с $k=-7<0$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x > 0$, $7x > 0$, $-7x < 0$, $2-7x < 2$. Область значений: $(-\infty; 2)$.

Выразим $x$: $y = 2 - 7x \Rightarrow 7x = 2 - y \Rightarrow x = \frac{2 - y}{7}$. Обратная функция: $y = \frac{2 - x}{7}$ с областью определения $(-\infty; 2)$.

Ответ: $y = \frac{2 - x}{7}$, при $x \in (-\infty; 2)$.

На $\mathbf{R}$:

Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и на $(0; +\infty)$. Проверим поведение функции в целом. При $x \le 0$ значения функции лежат в промежутке $[3; +\infty)$. При $x > 0$ значения функции лежат в промежутке $(-\infty; 2)$. Так как эти промежутки не пересекаются, каждому значению $y$ соответствует не более одного значения $x$, то есть функция взаимно-однозначна. Кроме того, если взять любое $x_1 \le 0$ и любое $x_2 > 0$, то $x_1 < x_2$, при этом $y(x_1) = 3 - x_1 \ge 3$, а $y(x_2) = 2 - 7x_2 < 2$. Таким образом, $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция строго убывает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$. Следовательно, обратная функция существует.

Область значений исходной функции: $(-\infty; 2) \cup [3; +\infty)$. Это будет область определения обратной функции.

Собираем обратную функцию из частей: Если $x < 2$ (соответствует $y \in (-\infty; 2)$), то обратная функция $y = \frac{2 - x}{7}$. Если $x \ge 3$ (соответствует $y \in [3; +\infty)$), то обратная функция $y = 3 - x$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{2 - x}{7}, & \text{если } x < 2 \\ 3 - x, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$, область определения $(-\infty; 2) \cup [3; +\infty)$.

10.24. Постройте на одном чертеже какие-нибудь графики двух взаимно обратных непрерывных на $(-5; 10)$ функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, для которых:

а) $f(3) = 3, g(5) = 5;$

б) $f(3) = 7, f(7) = 8, g(9) = 9;$

в) $f(-1) = -1, g(3) = 3;$

г) $f(1) = 9, f(2) = 7, g(4) = 4.$

Две функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ являются взаимно обратными, если выполнение равенства $f(a) = b$ эквивалентно выполнению равенства $g(b) = a$. Геометрически это означает, что их графики симметричны относительно прямой $y = x$. Если точка $(a, b)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(b, a)$ должна лежать на графике $y = g(x)$.

Для существования непрерывной обратной функции на интервале, исходная функция должна быть на этом интервале строго монотонной (либо строго возрастать, либо строго убывать). Для построения графиков в каждом пункте мы сначала определим набор ключевых точек для обеих функций, исходя из заданных условий и свойства симметрии. Затем, для построения, мы соединим эти точки отрезками прямых. Полученные непрерывные ломаные линии и будут являться графиками искомых функций. Такой способ построения гарантирует непрерывность и позволяет легко обеспечить монотонность и симметрию.

Из условия $f(3) = 3$ следует, что точка $(3, 3)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Так как эта точка лежит на прямой $y=x$, она также принадлежит и графику обратной функции $y = g(x)$, то есть $g(3) = 3$.Аналогично, из условия $g(5) = 5$ следует, что точка $(5, 5)$ принадлежит графику $y = g(x)$ и, в силу симметрии, также и графику $y = f(x)$, то есть $f(5) = 5$.Итак, оба графика проходят через точки $(3, 3)$ и $(5, 5)$.Чтобы построить графики, не совпадающие с прямой $y=x$, выберем еще одну точку для $f(x)$, не лежащую на этой прямой. Пусть, например, $f(0) = 1$. Тогда точка $(0, 1)$ лежит на графике $f(x)$.Из свойства взаимной обратимости следует, что $g(1) = 0$, то есть точка $(1, 0)$ лежит на графике $g(x)$.Теперь у нас есть набор точек для построения возрастающей функции $f(x)$: $(0, 1), (3, 3), (5, 5)$.Соответствующий набор точек для $g(x)$: $(1, 0), (3, 3), (5, 5)$.

Ответ: Для построения графика $y=f(x)$ нужно на координатной плоскости отметить точки $(0, 1)$, $(3, 3)$, $(5, 5)$ и соединить их последовательно отрезками прямых. Для построения графика $y=g(x)$ нужно отметить точки $(1, 0)$, $(3, 3)$, $(5, 5)$ и также соединить их отрезками. Полученные графики будут непрерывными, симметричными относительно прямой $y=x$ и удовлетворять заданным условиям. При желании графики можно продолжить в обе стороны в пределах интервала $(-5; 10)$, сохраняя монотонность и симметрию.

Проанализируем условия и используем свойство обратных функций:1. $f(3) = 7 \implies$ точка $(3, 7)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(7, 3)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(7) = 3$.2. $f(7) = 8 \implies$ точка $(7, 8)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(8, 7)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(8) = 7$.3. $g(9) = 9 \implies$ точка $(9, 9)$ принадлежит графику $g(x)$. Так как эта точка лежит на прямой $y=x$, она также принадлежит и графику $f(x)$, т.е. $f(9) = 9$.Соберем все точки для $f(x)$: $(3, 7), (7, 8), (9, 9)$. Заметим, что при возрастании $x$ от $3$ до $9$, значения $y$ также возрастают ($7 < 8 < 9$), значит, функция $f(x)$ может быть строго возрастающей.Точки для $g(x)$: $(7, 3), (8, 7), (9, 9)$.

Ответ: Построим график $y=f(x)$, соединив отрезками точки $(3, 7)$, $(7, 8)$ и $(9, 9)$. Построим график $y=g(x)$, соединив отрезками точки $(7, 3)$, $(8, 7)$ и $(9, 9)$. Полученные ломаные являются графиками взаимно обратных непрерывных функций, удовлетворяющих условиям задачи.

Данные условия аналогичны условиям из пункта (а).Из $f(-1) = -1$ следует, что точка $(-1, -1)$ лежит на графике $f(x)$. Так как она на прямой $y=x$, то и $g(-1) = -1$.Из $g(3) = 3$ следует, что точка $(3, 3)$ лежит на графике $g(x)$. Так как она на прямой $y=x$, то и $f(3) = 3$.Оба графика проходят через точки $(-1, -1)$ и $(3, 3)$.Для построения нетривиального примера выберем дополнительную точку. Пусть $f(1) = 2$. Тогда точка $(1, 2)$ лежит на графике $f(x)$.Следовательно, точка $(2, 1)$ лежит на графике $g(x)$ (так как $g(2)=1$).Набор точек для возрастающей функции $f(x)$: $(-1, -1), (1, 2), (3, 3)$.Набор точек для обратной ей функции $g(x)$: $(-1, -1), (2, 1), (3, 3)$.

Ответ: Начертить график $y=f(x)$, соединив отрезками точки $(-1, -1)$, $(1, 2)$ и $(3, 3)$. Начертить график $y=g(x)$, соединив отрезками точки $(-1, -1)$, $(2, 1)$ и $(3, 3)$. Эти графики удовлетворяют всем условиям задачи.

Проанализируем условия:1. $f(1) = 9 \implies$ точка $(1, 9)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(9, 1)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(9) = 1$.2. $f(2) = 7 \implies$ точка $(2, 7)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(7, 2)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(7) = 2$.3. $g(4) = 4 \implies$ точка $(4, 4)$ принадлежит графику $g(x)$. Так как она лежит на прямой $y=x$, то она принадлежит и графику $f(x)$, т.е. $f(4) = 4$.Соберем точки для $f(x)$: $(1, 9), (2, 7), (4, 4)$. Заметим, что при возрастании $x$ от $1$ до $4$, значения $y$ убывают ($9 > 7 > 4$), значит, функция $f(x)$ может быть строго убывающей.Точки для $g(x)$: $(9, 1), (7, 2), (4, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y=f(x)$ нужно соединить отрезками точки $(1, 9)$, $(2, 7)$ и $(4, 4)$. Для построения графика $y=g(x)$ нужно соединить отрезками точки $(9, 1)$, $(7, 2)$ и $(4, 4)$. Полученные графики являются графиками взаимно обратных, непрерывных, убывающих функций и удовлетворяют заданным условиям.

10.25. $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — взаимно обратные функции.

a) $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$. Решите уравнения $f(x) = 7$ и $g(x) = 3$.

б) $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$. Решите уравнения $f(x^2) = 25$ и $g(x^2) = 4$.

в) $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$. Решите уравнения $f(t) = -7$ и $g(t) = 15$.

г) $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$. Решите уравнения $f(3x) = 7$ и $g(5 - x) = 7$.

Основное свойство взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ заключается в том, что если $f(a) = b$, то $g(b) = a$ (и наоборот).

а) Дано: $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$.

Для решения уравнения $f(x) = 7$ используем данное условие $g(7) = 1$. Так как функции взаимно обратные, из $g(7) = 1$ следует, что $f(1) = 7$. Сравнивая это равенство с уравнением $f(x) = 7$, получаем, что $x=1$.
Ответ: $1$.

Для решения уравнения $g(x) = 3$ используем данное условие $f(3) = 5$. Из $f(3) = 5$ следует, что $g(5) = 3$. Сравнивая это равенство с уравнением $g(x) = 3$, получаем, что $x=5$.
Ответ: $5$.

б) Дано: $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$.

Для решения уравнения $f(x^2) = 25$ используем данное условие $g(25) = 9$. Из него следует, что $f(9) = 25$. Сравнивая с $f(x^2) = 25$, получаем уравнение $x^2 = 9$, решениями которого являются $x = 3$ и $x = -3$.
Ответ: $3; -3$.

Для решения уравнения $g(x^2) = 4$ используем данное условие $f(4) = 4$. Из него следует, что $g(4) = 4$. Сравнивая с $g(x^2) = 4$, получаем уравнение $x^2 = 4$, решениями которого являются $x = 2$ и $x = -2$.
Ответ: $2; -2$.

в) Дано: $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$.

Для решения уравнения $f(t) = -7$ используем данное условие $g(-7) = 1$. Из него следует, что $f(1) = -7$. Сравнивая с уравнением $f(t) = -7$, получаем, что $t=1$.
Ответ: $1$.

Для решения уравнения $g(t) = 15$ используем данное условие $f(15) = -3$. Из него следует, что $g(-3) = 15$. Сравнивая с уравнением $g(t) = 15$, получаем, что $t=-3$.
Ответ: $-3$.

г) Дано: $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$.

Для решения уравнения $f(3x) = 7$ используем данное условие $g(7) = 1$. Из него следует, что $f(1) = 7$. Сравнивая с $f(3x) = 7$, получаем уравнение $3x = 1$, решением которого является $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Для решения уравнения $g(5 - x) = 7$ используем данное условие $f(7) = 5$. Из него следует, что $g(5) = 7$. Сравнивая с $g(5 - x) = 7$, получаем уравнение $5 - x = 5$, решением которого является $x = 0$.
Ответ: $0$.

Постройте график функции $y = f(g(x))$, если:

10.26. а) $f(x) = 4x, g(x) = 0.25x;$

б) $f(x) = x - 3, g(x) = x + 3;$

в) $f(x) = -2x, g(x) = -0.5x;$

г) $f(x) = -5x + 5, g(x) = -0.2x - 1.$

а)

Для построения графика сложной функции $y = f(g(x))$ необходимо сначала найти ее аналитическое выражение. Для этого мы подставляем выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ на место переменной $x$.

В данном случае имеем функции $f(x) = 4x$ и $g(x) = 0,25x$.

Подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(0,25x) = 4 \cdot (0,25x) = 1 \cdot x = x$.

В результате мы получили линейную функцию $y = x$. Ее график — это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат.

Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем:

• При $x=0$, $y=0$. Точка (0; 0).
• При $x=3$, $y=3$. Точка (3; 3).

Соединив эти точки, получим график функции.

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x$.

б)

Даны функции $f(x) = x - 3$ и $g(x) = x + 3$.

Находим выражение для $y = f(g(x))$:

$y = f(g(x)) = f(x+3) = (x + 3) - 3 = x$.

Как и в предыдущем пункте, итоговая функция — $y = x$. Это связано с тем, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными. Их композиция дает тождественную функцию.

Графиком является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 1).

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x$.

в)

Даны функции $f(x) = -2x$ и $g(x) = -0,5x$.

Находим выражение для $y = f(g(x))$:

$y = f(g(x)) = f(-0,5x) = -2 \cdot (-0,5x) = 1 \cdot x = x$.

Снова получили функцию $y = x$. Функции $f(x) = -2x$ и $g(x) = -0,5x$ также являются взаимно обратными.

Графиком является прямая, биссектриса I и III координатных четвертей.

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x$.

г)

Даны функции $f(x) = -5x + 5$ и $g(x) = -0,2x - 1$.

Находим выражение для $y = f(g(x))$:

$y = f(g(x)) = f(-0,2x - 1) = -5(-0,2x - 1) + 5$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = (-5) \cdot (-0,2x) + (-5) \cdot (-1) + 5 = x + 5 + 5 = x + 10$.

Итоговая функция — $y = x + 10$. Это линейная функция, ее график — прямая. Эту прямую можно получить из графика $y=x$ сдвигом на 10 единиц вверх вдоль оси OY.

Для построения найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY (при $x=0$): $y = 0 + 10 = 10$. Точка (0; 10).
• С осью OX (при $y=0$): $0 = x + 10$, откуда $x = -10$. Точка (-10; 0).

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x + 10$.

10.27. a) $f(x) = \frac{3}{x}$, $g(x) = \frac{3}{x}$;

б) $f(x) = \frac{3}{x+1}$, $g(x) = \frac{3-x}{x}$;

в) $f(x) = \frac{1}{2x}$, $g(x) = \frac{1}{2x}$;

г) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$, $g(x) = \frac{x+1}{1-x}$.

а) Даны функции $f(x) = \frac{3}{x}$ и $g(x) = \frac{3}{x}$.

Две функции считаются равными, если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{3}{x}$. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{3}{x}$. Аналогично, знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Сравним выражения для функций. Аналитические выражения для функций $f(x)$ и $g(x)$ полностью совпадают.

Так как области определения функций $D(f)$ и $D(g)$ совпадают и для любого $x$ из этой области $f(x) = g(x)$, то функции являются равными.

Ответ: функции равны.

б) Даны функции $f(x) = \frac{3}{x+1}$ и $g(x) = \frac{3-x}{x}$.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{3}{x+1}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{3-x}{x}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Сравним области определения. Так как $D(f) \neq D(g)$ (например, точка $x=0$ принадлежит $D(f)$, но не принадлежит $D(g)$), то функции не являются равными.

Кроме того, можно сравнить значения функций в общей для них точке, например, при $x=1$. Имеем $f(1) = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$ и $g(1) = \frac{3-1}{1} = 2$. Поскольку $f(1) \neq g(1)$, это также доказывает, что функции не равны.

Ответ: функции не равны.

в) Даны функции $f(x) = \frac{1}{2x}$ и $g(x) = \frac{1}{2x}$.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{1}{2x}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $2x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{1}{2x}$. Аналогично, $2x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Аналитические выражения для функций $f(x)$ и $g(x)$ и их области определения $D(f)$ и $D(g)$ совпадают.

Следовательно, функции являются равными.

Ответ: функции равны.

г) Даны функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ и $g(x) = \frac{x+1}{1-x}$.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{x+1}{1-x}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $1-x \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения $D(g) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Сравним области определения. Так как $D(f) \neq D(g)$ (например, точка $x=1$ принадлежит $D(f)$, но не принадлежит $D(g)$), то функции не являются равными.

Также можно преобразовать выражение для $g(x)$: $g(x) = \frac{x+1}{1-x} = \frac{x+1}{-(x-1)} = -\frac{x+1}{x-1}$. Видно, что аналитические выражения для $f(x)$ и $g(x)$ также различны.

Ответ: функции не равны.