Страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.5. Найдите область определения и множество значений функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$, если:

а) $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (3; +\infty);$

б) $D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$, $E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty);$

в) $D(f) = [-5; 6)$, $E(f) = (-\infty; 11];$

г) $D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty).$

Для нахождения области определения $D(g)$ и множества значений $E(g)$ функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$, используется ключевое свойство взаимно обратных функций. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. Это можно записать в виде формул:

$D(g) = E(f)$

$E(g) = D(f)$

Применим это правило для решения каждого из пунктов задачи.

а) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = \mathbb{R}$

$E(f) = (3; +\infty)$

Тогда для обратной функции $g(x)$ область определения $D(g)$ равна множеству значений $E(f)$, а множество значений $E(g)$ равно области определения $D(f)$.

$D(g) = E(f) = (3; +\infty)$

$E(g) = D(f) = \mathbb{R}$

Ответ: $D(g) = (3; +\infty)$, $E(g) = \mathbb{R}$.

б) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$

$E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$

Находим область определения и множество значений для обратной функции $g(x)$, меняя их местами с соответствующими множествами для $f(x)$:

$D(g) = E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$

$E(g) = D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$

Ответ: $D(g) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$, $E(g) = (2; 3) \cup [5; 6)$.

в) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = [-5; 6)$

$E(f) = (-\infty; 11]$

Для обратной функции $g(x)$ получаем:

$D(g) = E(f) = (-\infty; 11]$

$E(g) = D(f) = [-5; 6)$

Ответ: $D(g) = (-\infty; 11]$, $E(g) = [-5; 6)$.

г) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

В этом случае область определения и множество значений исходной функции совпадают. Следовательно, для обратной функции $g(x)$ они также будут совпадать.

$D(g) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

$E(g) = D(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

Ответ: $D(g) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$, $E(g) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$.

10.6. Найдите множество значений каждой из взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, если указаны их области определения:

а) $D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = [-2; +\infty)$

б) $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$

в) $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$

г) $D(f) = \{-1; 2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$

Для двух взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ область определения одной функции является множеством значений другой, и наоборот. Если $D(f)$ и $E(f)$ — это область определения и множество значений функции $f$ соответственно, то для взаимно обратных функций справедливы следующие равенства: $E(f) = D(g)$ и $E(g) = D(f)$.

а) Дано: $D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = [-2; +\infty)$.
По свойству взаимно обратных функций, множество значений функции $f(x)$ совпадает с областью определения функции $g(x)$.
$E(f) = D(g) = [-2; +\infty)$.
Аналогично, множество значений функции $g(x)$ совпадает с областью определения функции $f(x)$.
$E(g) = D(f) = \mathbb{R}$.
Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$, $E(g) = \mathbb{R}$.

б) Дано: $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$.
Множество значений $f(x)$ равно области определения $g(x)$:
$E(f) = D(g) = [4; 11]$.
Множество значений $g(x)$ равно области определения $f(x)$:
$E(g) = D(f) = [-3; 4]$.
Ответ: $E(f) = [4; 11]$, $E(g) = [-3; 4]$.

в) Дано: $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$.
Множество значений $f(x)$ равно области определения $g(x)$:
$E(f) = D(g) = (-\infty; 7)$.
Множество значений $g(x)$ равно области определения $f(x)$:
$E(g) = D(f) = (0; +\infty)$.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 7)$, $E(g) = (0; +\infty)$.

г) Дано: $D(f) = \{-1; 2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$.
Множество значений $f(x)$ равно области определения $g(x)$:
$E(f) = D(g) = \{-2; 78; 123\}$.
Множество значений $g(x)$ равно области определения $f(x)$:
$E(g) = D(f) = \{-1; 2; 4\}$.
Ответ: $E(f) = \{-2; 78; 123\}$, $E(g) = \{-1; 2; 4\}$.

10.7. Являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно обратными, если:

a) $f(x) = 3x + 5, g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3};$

б) $f(x) = \frac{3}{5} - 6x, g(x) = 0.1 - \frac{1}{6}x;$

в) $f(x) = \frac{1}{7}x - 3, g(x) = 7x + 3;$

г) $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}, g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}?$

Чтобы проверить, являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно обратными, найдем для каждой пары функцию, обратную к $f(x)$, и сравним ее с $g(x)$.

а) Даны функции $f(x) = 3x + 5$ и $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. Для этого в уравнении $y = 3x + 5$ выразим переменную $x$ через $y$:

$y - 5 = 3x$

$x = \frac{y - 5}{3}$

$x = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3}$

Теперь, чтобы получить обратную функцию в стандартной записи, поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

Полученная обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$ полностью совпадает с функцией $g(x)$. Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

б) Даны функции $f(x) = \frac{3}{5} - 6x$ и $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. В уравнении $y = \frac{3}{5} - 6x$ выразим $x$ через $y$:

$6x = \frac{3}{5} - y$

$x = \frac{1}{6} \left(\frac{3}{5} - y \right)$

$x = \frac{3}{30} - \frac{1}{6}y$

$x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}y$

Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Сравним полученную функцию с $g(x)$. Представим десятичную дробь в $g(x)$ в виде обыкновенной: $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Обратная функция к $f(x)$ совпадает с $g(x)$, значит, функции являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

в) Даны функции $f(x) = \frac{1}{7}x - 3$ и $g(x) = 7x + 3$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. В уравнении $y = \frac{1}{7}x - 3$ выразим $x$ через $y$:

$y + 3 = \frac{1}{7}x$

$x = 7(y + 3)$

$x = 7y + 21$

Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = 7x + 21$.

Сравним полученную функцию $f^{-1}(x) = 7x + 21$ с функцией $g(x) = 7x + 3$. Они не совпадают, так как $21 \neq 3$. Следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.

г) Даны функции $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ и $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. В уравнении $y = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ выразим $x$ через $y$:

$y - \frac{3}{7} = \frac{7}{3}x$

$x = \frac{3}{7}\left(y - \frac{3}{7}\right)$

$x = \frac{3}{7}y - \frac{9}{49}$

Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \frac{3}{7}x - \frac{9}{49}$.

Сравним полученную функцию $f^{-1}(x) = \frac{3}{7}x - \frac{9}{49}$ с функцией $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$. Они не совпадают, так как их свободные члены различны: $-\frac{9}{49} \neq \frac{7}{3}$. Следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.

Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций:

10.8. а) $y = 3x$;

б) $y = 5x + 2$;

в) $y = x - 7$;

г) $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции $y = f(x)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. В уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$.
2. Решить полученное уравнение относительно $y$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

а) $y = 3x$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = 3x$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3y$.

Выражаем $y$: $y = \frac{x}{3}$.

Итак, обратная функция: $y = \frac{1}{3}x$.

2. Построим графики. Обе функции являются линейными, их графики - прямые, проходящие через начало координат (0,0).

Для $y=3x$ возьмем точку (1, 3).

Для $y=\frac{1}{3}x$ возьмем точку (3, 1).

Нанесем на чертеж исходную функцию (синий цвет), обратную функцию (красный цвет) и ось симметрии $y=x$ (зеленый пунктир).

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{3}x$. Графики построены на чертеже.

б) $y = 5x + 2$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = 5x + 2$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 5y + 2$.

Выражаем $y$: $x - 2 = 5y \implies y = \frac{x-2}{5}$.

Итак, обратная функция: $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$.

2. Построим графики. Для $y=5x+2$ возьмем точки (0, 2) и (-1, -3). Для $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$ возьмем точки (2, 0) и (-3, -1).

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$. Графики построены на чертеже.

в) $y = x - 7$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = x - 7$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = y - 7$.

Выражаем $y$: $y = x + 7$.

Итак, обратная функция: $y = x + 7$.

2. Построим графики. Для $y=x-7$ возьмем точки (0, -7) и (7, 0). Для $y=x+7$ возьмем точки (0, 7) и (-7, 0). Графики этих функций и прямой $y=x$ параллельны друг другу.

Ответ: обратная функция $y = x + 7$. Графики построены на чертеже.

г) $y = \frac{1}{3}x - 4$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1}{3}y - 4$.

Выражаем $y$: $x + 4 = \frac{1}{3}y \implies y = 3(x+4) = 3x + 12$.

Итак, обратная функция: $y = 3x + 12$.

2. Построим графики. Для $y=\frac{1}{3}x - 4$ возьмем точки (0, -4) и (3, -3). Для $y = 3x+12$ возьмем точки (-4, 0) и (-3, 3). Точка пересечения графиков (-6, -6) лежит на прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 3x + 12$. Графики построены на чертеже.

10.9. a) $y = \frac{3}{x - 1}$;

Б) $y = \frac{x + 7}{2x - 5}$;

В) $y = \frac{2}{x + 4}$;

Г) $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$.

а) $y = \frac{3}{x-1}$
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Следовательно, при $x = 1$ функция не определена. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{x+7}{2x-5}$
Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$
Таким образом, функция не определена при $x = 2.5$. Областью определения являются все действительные числа, за исключением $2.5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

в) $y = \frac{2}{x+4}$
Функция определена, когда ее знаменатель не обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение $x$:
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Значит, область определения функции включает все действительные числа, кроме $x = -4$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

г) $y = \frac{2x-1}{x+3}$
Эта функция также является дробно-рациональной. Область ее определения — все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $x$, которое обращает знаменатель в ноль:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Следовательно, функция не определена в точке $x = -3$. Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме $-3$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

10.10. Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе:

а) $y = x$;

б) $y = 3x$;

в) $y = -x$;

г) $y = -x + 1$?

Функция является обратной по отношению к самой себе, если её обратная функция совпадает с исходной. Чтобы найти обратную функцию для $y = f(x)$, нужно поменять местами переменные $x$ и $y$, получив уравнение $x = f(y)$, а затем выразить из этого уравнения $y$. Если полученное выражение для $y$ совпадает с исходным, то функция является обратной самой себе.

а) $y = x$
Исходная функция: $y = x$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$x = y$
Выражая $y$, получаем:
$y = x$
Полученная функция совпадает с исходной. Следовательно, функция $y = x$ является обратной самой себе.
Ответ: да.

б) $y = 3x$
Исходная функция: $y = 3x$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$x = 3y$
Выражаем $y$:
$y = \frac{x}{3}$
Полученная функция $y = \frac{x}{3}$ не совпадает с исходной функцией $y = 3x$. Следовательно, данная функция не является обратной самой себе.
Ответ: нет.

в) $y = -x$
Исходная функция: $y = -x$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$x = -y$
Выражаем $y$:
$y = -x$
Полученная функция совпадает с исходной. Следовательно, функция $y = -x$ является обратной самой себе.
Ответ: да.

г) $y = -x + 1$
Исходная функция: $y = -x + 1$.
Меняем местами $x$ и $y$:
$x = -y + 1$
Выражаем $y$:
$y = -x + 1$
Полученная функция совпадает с исходной. Следовательно, функция $y = -x + 1$ является обратной самой себе.
Ответ: да.