Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.18. а) Период функции равен 2 и $f(x) = |x|$ на отрезке $[-1; 1];$

б) Период функции равен 4 и $f(x) = 3\sqrt{x} + 2$ на промежутке $[-2; 2);$

в) Период функции равен 3 и $f(x) = 3 - |2 - x|$ на промежутке $[0; 3);$

г) Период функции равен 1 и $f(x) = 3 - \sqrt{4 - 3x}$ на промежутке $(0; 1).$

а) По условию, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=2$. Это означает, что для любого $x$ из области определения и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x+2k) = f(x)$. На отрезке $[-1; 1]$ функция задана формулой $f(x) = |x|$. Длина этого отрезка $1 - (-1) = 2$, что совпадает с периодом функции.

Для того чтобы найти значение функции в произвольной точке $x$, необходимо найти такое целое число $k$, чтобы аргумент $x_0 = x - 2k$ попал в заданный отрезок $[-1; 1]$. После этого мы сможем вычислить значение функции: $f(x) = f(x_0) = |x_0|$.

Условие $x_0 \in [-1; 1]$ записывается в виде неравенства: $-1 \le x - 2k \le 1$. Решим это неравенство относительно $k$:
$x-1 \le 2k \le x+1$
$\frac{x-1}{2} \le k \le \frac{x+1}{2}$

Длина этого промежутка для $k$ равна $(\frac{x+1}{2}) - (\frac{x-1}{2}) = 1$, поэтому для любого $x$ всегда существует ровно одно целое число $k$, удовлетворяющее этому условию (или два на границах, если $x$ — нечетное целое, но значения функции в этих точках совпадают, так как $f(-1) = f(1)$). Это число $k$ является ближайшим целым к $x/2$, то есть $k = \text{round}(x/2)$, что можно записать с помощью функции "пол" как $k = \lfloor x/2 + 0.5 \rfloor$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ функция определяется выражением $f(x) = |x - 2k|$, где $k$ — целое число, такое что $x - 2k \in [-1; 1]$.

Ответ: $f(x) = |x - 2\lfloor x/2 + 0.5 \rfloor|$.

б) Функция $f(x)$ периодическая с периодом $T=4$, то есть $f(x+4k) = f(x)$ для любого целого $k$. На промежутке $[-2; 2)$ функция задана как $f(x) = 3\sqrt{x+2}$. Длина этого промежутка $2 - (-2) = 4$, что равно периоду.

Для вычисления $f(x)$ при произвольном $x$ найдем целое $k$, для которого $x_0 = x - 4k$ принадлежит промежутку $[-2; 2)$. Тогда $f(x) = f(x_0) = 3\sqrt{x_0+2}$.

Условие $x_0 \in [-2; 2)$ записывается как $-2 \le x - 4k < 2$. Решим относительно $k$:
$4k - 2 \le x < 4k + 2$
$x - 2 < 4k \le x + 2$
$\frac{x-2}{4} < k \le \frac{x+2}{4}$

Этому неравенству удовлетворяет единственное целое число $k = \lfloor \frac{x+2}{4} \rfloor$.
Таким образом, общая формула для функции имеет вид: $f(x) = 3\sqrt{(x - 4k) + 2}$, где $k = \lfloor \frac{x+2}{4} \rfloor$.

Ответ: $f(x) = 3\sqrt{x - 4\lfloor \frac{x+2}{4} \rfloor + 2}$.

в) Период функции равен $T=3$, поэтому $f(x+3k) = f(x)$ для целых $k$. На промежутке $[0; 3)$ функция задана как $f(x) = 3 - |2-x|$. Длина этого промежутка равна периоду.

Для любого $x$ найдем целое $k$ такое, что $x_0 = x - 3k$ принадлежит промежутку $[0; 3)$. Тогда $f(x) = f(x_0) = 3 - |2-x_0|$.

Условие $x_0 \in [0; 3)$ записывается как $0 \le x - 3k < 3$. Решим относительно $k$:
$3k \le x < 3k + 3$
$k \le \frac{x}{3} < k + 1$

Это определение функции "пол" (floor), поэтому $k = \lfloor x/3 \rfloor$.
Подставляя $k$, получаем общую формулу для функции: $f(x) = 3 - |2 - (x - 3k)| = 3 - |2 - (x - 3\lfloor x/3 \rfloor)|$.

Ответ: $f(x) = 3 - |2 - (x - 3\lfloor x/3 \rfloor)|$.

г) Период функции равен $T=1$, так что $f(x+k) = f(x)$ для любого целого $k$. На промежутке $(0; 1]$ функция задана как $f(x) = 3 - \sqrt{4-3x}$. Длина промежутка равна периоду.

Для любого $x$ найдем целое $k$ такое, что $x_0 = x - k$ принадлежит промежутку $(0; 1]$. Тогда $f(x) = f(x_0) = 3 - \sqrt{4 - 3x_0}$.

Условие $x_0 \in (0; 1]$ записывается как $0 < x - k \le 1$. Решим относительно $k$:
$k < x \le k + 1$

Этому условию удовлетворяет единственное целое число $k$, которое можно найти по формуле $k = \lceil x \rceil - 1$, где $\lceil x \rceil$ — функция "потолок" (наименьшее целое, не меньшее $x$).
Общая формула для функции: $f(x) = 3 - \sqrt{4 - 3(x-k)} = 3 - \sqrt{4 - 3(x - (\lceil x \rceil - 1))}$.

Ответ: $f(x) = 3 - \sqrt{4 - 3(x - (\lceil x \rceil - 1))}$.

9.19. a) Период функции равен 2 и $f(x) = \frac{1}{x + 2}$ на промежутке

(-1; 1);

б) период функции равен 4 и $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке

(-2; 2];

в) период функции равен 3 и $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ на промежутке

[0; 3);

г) период функции равен 5 и $f(x) = \frac{|x|}{|x| - 1}$ на промежутке

[-2; 3).

а)

По определению, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x) = f(x+T)$. В данном случае период $T=2$. Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x+2}$ на промежутке $(-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ мы можем найти значение функции, "сдвинув" аргумент на целое число периодов так, чтобы он попал в заданный промежуток.

Пусть $x$ – произвольное число. Мы ищем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - kT = x - 2k$ принадлежал промежутку $(-1; 1]$.

Запишем это условие в виде двойного неравенства:$-1 < x - 2k \le 1$.

Теперь выразим $k$ из этого неравенства:$x - 1 \le 2k < x + 1$$\frac{x-1}{2} \le k < \frac{x+1}{2}$

Длина этого интервала для $k$ равна $(\frac{x+1}{2}) - (\frac{x-1}{2}) = 1$, поэтому в нем содержится ровно одно целое число. Это число можно однозначно определить с помощью функции «потолок» $\lceil \cdot \rceil$, которая округляет число до ближайшего целого в большую сторону. В данном случае, $k = \lceil \frac{x-1}{2} \rceil$.

Таким образом, для любого $x$ соответствующий ему аргумент $x'$ из основного промежутка $(-1; 1]$ вычисляется по формуле $x' = x - 2k = x - 2 \lceil \frac{x-1}{2} \rceil$.

Значение функции в точке $x$ равно значению функции в точке $x'$. Подставляя выражение для $x'$ в заданную формулу $f(x') = \frac{1}{x'+2}$, получаем общее выражение для периодической функции $f(x)$:

Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x - 2 \lceil \frac{x-1}{2} \rceil) + 2}$.

б)

Период функции $T=4$, и на промежутке $(-2; 2]$ она задана как $f(x) = \frac{1}{x}$. Длина этого промежутка $2 - (-2) = 4$ равна периоду.

Для произвольного $x$ найдем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - 4k$ попал в промежуток $(-2; 2]$.

Запишем неравенство:$-2 < x - 4k \le 2$.

Выразим $k$:$x - 2 \le 4k < x + 2$$\frac{x-2}{4} \le k < \frac{x+2}{4}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k = \lceil \frac{x-2}{4} \rceil$.

Следовательно, аргумент, приведенный к основному промежутку, равен $x' = x - 4k = x - 4 \lceil \frac{x-2}{4} \rceil$.

Поскольку $f(x) = f(x')$, а на базовом промежутке $f(x') = \frac{1}{x'}$, получаем итоговую формулу, подставив выражение для $x'$:

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x - 4 \lceil \frac{x-2}{4} \rceil}$.

в)

Период функции $T=3$, и на промежутке $[0; 3)$ она задана как $f(x) = \frac{x}{x+2}$. Длина промежутка $3 - 0 = 3$ равна периоду.

Для произвольного $x$ найдем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - 3k$ попал в промежуток $[0; 3)$.

Запишем неравенство:$0 \le x - 3k < 3$.

Выразим $k$:$x - 3 < 3k \le x$$\frac{x}{3} - 1 < k \le \frac{x}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, можно найти с помощью функции «целая часть» (пол) $\lfloor \cdot \rfloor$, которая округляет число до ближайшего целого в меньшую сторону: $k = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor$.

Аргумент, приведенный к основному промежутку, равен $x' = x - 3k = x - 3 \lfloor \frac{x}{3} \rfloor$. Это выражение также известно как остаток от деления $x$ на $3$.

Подставляя $x'$ в формулу $f(x') = \frac{x'}{x'+2}$, получаем общее выражение для функции:

Ответ: $f(x) = \frac{x - 3 \lfloor \frac{x}{3} \rfloor}{x - 3 \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + 2}$.

г)

Период функции $T=5$, и на промежутке $[-2; 3)$ она задана как $f(x) = \frac{|x|}{|x|-1}$. Длина промежутка $3 - (-2) = 5$ равна периоду.

Для произвольного $x$ найдем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - 5k$ попал в промежуток $[-2; 3)$.

Запишем неравенство:$-2 \le x - 5k < 3$.

Выразим $k$:$x - 3 < 5k \le x + 2$$\frac{x-3}{5} < k \le \frac{x+2}{5}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k = \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor$.

Аргумент, приведенный к основному промежутку, равен $x' = x - 5k = x - 5 \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor$.

Подставляя $x'$ в формулу $f(x') = \frac{|x'|}{|x'|-1}$, получаем общее выражение для функции:

Ответ: $f(x) = \frac{|x - 5 \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor|}{|x - 5 \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor| - 1}$.

9.20. Наибольшее значение периодической функции с периодом 3 на отрезке $[-1; 2]$ равно 5, а наименьшее значение равно -2. Найдите, если это возможно:

a) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-2; 11)$;

б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-5; 8)$;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-2; 1)$;

г) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-\infty; 1)$.

Пусть $f(x)$ — данная периодическая функция с периодом $T=3$. Из условия известно, что на отрезке $[-1; 2]$ наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее — -2. Длина отрезка $[-1; 2]$ равна $2 - (-1) = 3$, что в точности совпадает с периодом функции. Это означает, что на отрезке $[-1; 2]$ функция принимает все свои возможные значения. Следовательно, глобальное наибольшее значение функции на всей области определения равно 5, а глобальное наименьшее значение равно -2. То есть, для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $-2 \le f(x) \le 5$. Также существуют такие значения аргумента $x_{max}$ и $x_{min}$, что $f(x_{max}) = 5$ и $f(x_{min}) = -2$. Из-за периодичности, если функция принимает некоторое значение в точке $x_0$, то она принимает это же значение во всех точках вида $x_0 + 3k$, где $k$ — любое целое число.

а) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-2; 11]$

Рассмотрим промежуток $(-2; 11]$. Его длина равна $11 - (-2) = 13$, что больше периода $T=3$. Это означает, что данный промежуток содержит в себе как минимум один полный период. В частности, исходный отрезок $[-1; 2]$ целиком содержится в промежутке $(-2; 11]$, так как $-2 < -1$ и $2 \le 11$. Поскольку на отрезке $[-1; 2]$ функция достигает своего наибольшего значения 5 и наименьшего значения -2, а этот отрезок является частью промежутка $(-2; 11]$, то и на промежутке $(-2; 11]$ функция также достигнет этих значений. Учитывая, что 5 и -2 — это глобальные экстремумы, на промежутке $(-2; 11]$ значения не могут быть больше 5 или меньше -2. Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке $(-2; 11]$ равно 5, а наименьшее — -2.

Ответ: наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно -2.

б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-5; 8]$

Рассмотрим промежуток $(-5; 8]$. Его длина равна $8 - (-5) = 13$, что также больше периода $T=3$. Как и в предыдущем пункте, этот промежуток содержит в себе отрезок длиной в один период. Например, исходный отрезок $[-1; 2]$ полностью лежит внутри $(-5; 8]$, так как $-5 < -1$ и $2 \le 8$. Рассуждая аналогично пунк

9.21. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4 и $f(x) = 5x + 2$ на интервале (0; 4). Решите:

а) уравнение $f(x) = 7;$

б) неравенство $f(x) > 7.$

Дана периодическая функция $y = f(x)$ с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x + 4k) = f(x)$. На интервале $(0; 4)$ функция задана формулой $f(x) = 5x + 2$.

а) уравнение f(x) = 7;

Сначала найдем решения на основном интервале $(0; 4)$. На этом интервале уравнение $f(x) = 7$ принимает вид:
$5x + 2 = 7$
$5x = 7 - 2$
$5x = 5$
$x = 1$
Значение $x=1$ принадлежит интервалу $(0; 4)$, следовательно, это корень уравнения на данном интервале.
В силу периодичности функции с периодом $T = 4$, все остальные решения получаются добавлением к найденному корню чисел, кратных 4. Таким образом, общее решение имеет вид $x = 1 + 4k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = 1 + 4k, k \in \mathbb{Z}$.

б) неравенство f(x) > 7.

Сначала решим неравенство на основном интервале $(0; 4)$. На этом интервале неравенство $f(x) > 7$ выглядит так:
$5x + 2 > 7$
$5x > 7 - 2$
$5x > 5$
$x > 1$
Мы ищем решения в интервале $(0; 4)$. Пересечение условий $x > 1$ и $0 < x < 4$ дает нам интервал $(1; 4)$. Это решение на одном периоде.
Используя свойство периодичности функции, мы можем найти все решения. Они будут представлять собой объединение интервалов, полученных сдвигом базового решения $(1; 4)$ на $4k$ для всех целых $k$.

Ответ: $x \in (1 + 4k; 4 + 4k), k \in \mathbb{Z}$.

9.22. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 5 и $f(x) = x^2 + 2x$ на полуинтервале $(-3; 2]$. Решите:

а) уравнение $f(x) = 0$;

б) неравенство $f(x) > 3$;

в) уравнение $f(x) = 8$;

г) неравенство $f(x) < 0$.

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T=5$, и на полуинтервале $(-3; 2]$ она задается формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Для решения уравнений и неравенств мы сначала найдем их решения на этом базовом полуинтервале, а затем обобщим их на всю числовую прямую, используя свойство периодичности.

а) уравнение $f(x) = 0$

Сначала решим уравнение на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Оба этих значения принадлежат полуинтервалу $(-3; 2]$.

Так как функция периодическая с периодом $5$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к найденным корням числа, кратные $5$. Таким образом, общие решения имеют вид:

$x = 0 + 5k = 5k$

$x = -2 + 5k$

где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = 5k$, $x = -2 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) неравенство $f(x) > 3$

Сначала решим неравенство на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x > 3$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < -3$ или $x > 1$.

Теперь найдем пересечение этого множества решений $(-\infty; -3) \cup (1; \infty)$ с полуинтервалом $(-3; 2]$. Пересечением является множество $(1; 2]$.

Используя периодичность функции с периодом $5$, мы получаем, что общее решение является объединением всех интервалов, полученных сдвигом $(1; 2]$ на $5k$ для всех целых $k$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (1 + 5k; 2 + 5k]$.

в) уравнение $f(x) = 8$

Сначала решим уравнение на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Проверим принадлежность корней полуинтервалу $(-3; 2]$. Корень $x = 2$ принадлежит этому полуинтервалу. Корень $x = -4$ не принадлежит.

Таким образом, на базовом полуинтервале есть единственное решение $x = 2$.

В силу периодичности функции с периодом $5$, все решения уравнения имеют вид:

$x = 2 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) неравенство $f(x) < 0$

Сначала решим неравенство на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x < 0$

$x(x + 2) < 0$

Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=-2$. Неравенство выполняется между корнями.

Решением является интервал $(-2; 0)$. Этот интервал полностью содержится в базовом полуинтервале $(-3; 2]$.

Используя периодичность функции с периодом $5$, получаем общее решение как объединение всех интервалов, полученных сдвигом $(-2; 0)$ на $5k$ для всех целых $k$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (-2 + 5k; 5k)$.