Номер 9.18, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.18. а) Период функции равен 2 и $f(x) = |x|$ на отрезке $[-1; 1];$

б) Период функции равен 4 и $f(x) = 3\sqrt{x} + 2$ на промежутке $[-2; 2);$

в) Период функции равен 3 и $f(x) = 3 - |2 - x|$ на промежутке $[0; 3);$

г) Период функции равен 1 и $f(x) = 3 - \sqrt{4 - 3x}$ на промежутке $(0; 1).$

а) По условию, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=2$. Это означает, что для любого $x$ из области определения и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x+2k) = f(x)$. На отрезке $[-1; 1]$ функция задана формулой $f(x) = |x|$. Длина этого отрезка $1 - (-1) = 2$, что совпадает с периодом функции.

Для того чтобы найти значение функции в произвольной точке $x$, необходимо найти такое целое число $k$, чтобы аргумент $x_0 = x - 2k$ попал в заданный отрезок $[-1; 1]$. После этого мы сможем вычислить значение функции: $f(x) = f(x_0) = |x_0|$.

Условие $x_0 \in [-1; 1]$ записывается в виде неравенства: $-1 \le x - 2k \le 1$. Решим это неравенство относительно $k$:
$x-1 \le 2k \le x+1$
$\frac{x-1}{2} \le k \le \frac{x+1}{2}$

Длина этого промежутка для $k$ равна $(\frac{x+1}{2}) - (\frac{x-1}{2}) = 1$, поэтому для любого $x$ всегда существует ровно одно целое число $k$, удовлетворяющее этому условию (или два на границах, если $x$ — нечетное целое, но значения функции в этих точках совпадают, так как $f(-1) = f(1)$). Это число $k$ является ближайшим целым к $x/2$, то есть $k = \text{round}(x/2)$, что можно записать с помощью функции "пол" как $k = \lfloor x/2 + 0.5 \rfloor$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ функция определяется выражением $f(x) = |x - 2k|$, где $k$ — целое число, такое что $x - 2k \in [-1; 1]$.

Ответ: $f(x) = |x - 2\lfloor x/2 + 0.5 \rfloor|$.

б) Функция $f(x)$ периодическая с периодом $T=4$, то есть $f(x+4k) = f(x)$ для любого целого $k$. На промежутке $[-2; 2)$ функция задана как $f(x) = 3\sqrt{x+2}$. Длина этого промежутка $2 - (-2) = 4$, что равно периоду.

Для вычисления $f(x)$ при произвольном $x$ найдем целое $k$, для которого $x_0 = x - 4k$ принадлежит промежутку $[-2; 2)$. Тогда $f(x) = f(x_0) = 3\sqrt{x_0+2}$.

Условие $x_0 \in [-2; 2)$ записывается как $-2 \le x - 4k < 2$. Решим относительно $k$:
$4k - 2 \le x < 4k + 2$
$x - 2 < 4k \le x + 2$
$\frac{x-2}{4} < k \le \frac{x+2}{4}$

Этому неравенству удовлетворяет единственное целое число $k = \lfloor \frac{x+2}{4} \rfloor$.
Таким образом, общая формула для функции имеет вид: $f(x) = 3\sqrt{(x - 4k) + 2}$, где $k = \lfloor \frac{x+2}{4} \rfloor$.

Ответ: $f(x) = 3\sqrt{x - 4\lfloor \frac{x+2}{4} \rfloor + 2}$.

в) Период функции равен $T=3$, поэтому $f(x+3k) = f(x)$ для целых $k$. На промежутке $[0; 3)$ функция задана как $f(x) = 3 - |2-x|$. Длина этого промежутка равна периоду.

Для любого $x$ найдем целое $k$ такое, что $x_0 = x - 3k$ принадлежит промежутку $[0; 3)$. Тогда $f(x) = f(x_0) = 3 - |2-x_0|$.

Условие $x_0 \in [0; 3)$ записывается как $0 \le x - 3k < 3$. Решим относительно $k$:
$3k \le x < 3k + 3$
$k \le \frac{x}{3} < k + 1$

Это определение функции "пол" (floor), поэтому $k = \lfloor x/3 \rfloor$.
Подставляя $k$, получаем общую формулу для функции: $f(x) = 3 - |2 - (x - 3k)| = 3 - |2 - (x - 3\lfloor x/3 \rfloor)|$.

Ответ: $f(x) = 3 - |2 - (x - 3\lfloor x/3 \rfloor)|$.

г) Период функции равен $T=1$, так что $f(x+k) = f(x)$ для любого целого $k$. На промежутке $(0; 1]$ функция задана как $f(x) = 3 - \sqrt{4-3x}$. Длина промежутка равна периоду.

Для любого $x$ найдем целое $k$ такое, что $x_0 = x - k$ принадлежит промежутку $(0; 1]$. Тогда $f(x) = f(x_0) = 3 - \sqrt{4 - 3x_0}$.

Условие $x_0 \in (0; 1]$ записывается как $0 < x - k \le 1$. Решим относительно $k$:
$k < x \le k + 1$

Этому условию удовлетворяет единственное целое число $k$, которое можно найти по формуле $k = \lceil x \rceil - 1$, где $\lceil x \rceil$ — функция "потолок" (наименьшее целое, не меньшее $x$).
Общая формула для функции: $f(x) = 3 - \sqrt{4 - 3(x-k)} = 3 - \sqrt{4 - 3(x - (\lceil x \rceil - 1))}$.

Ответ: $f(x) = 3 - \sqrt{4 - 3(x - (\lceil x \rceil - 1))}$.