Номер 9.17, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

В № 9.17–9.19 постройте график данной периодической функции $y = f(x)$ и укажите область её определения, область значений, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знакопостоянства; исследуйте функцию на чётность-нечётность:

9.17. а) Период функции равен 2 и $f(x) = 3x$ на промежутке $(-1; 1];

б) период функции равен 4 и $f(x) = 4 - x^2$ на отрезке $[-2; 2];

в) период функции равен 3 и $f(x) = 2 - x$ на промежутке $[0; 3);

г) период функции равен 1 и $f(x) = 2x^2 - 1$ на промежутке $(0; 1).

а)

График функции: На основном промежутке $(-1; 1)$ график функции $y=3x$ представляет собой отрезок прямой, проходящий через начало координат, с выколотыми точками на концах: $(-1, -3)$ и $(1, 3)$. В силу периодичности с периодом $T=2$, этот фрагмент повторяется вдоль всей оси $Ox$. График представляет собой множество параллельных отрезков с разрывами в точках $x=2k+1, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения: Функция задана на промежутке $(-1; 1)$ и имеет период $T=2$. Это означает, что она определена на всех интервалах вида $(-1+2k; 1+2k)$ для любого целого $k$. Точки $x = 1+2k$ (нечётные целые числа) не входят в область определения.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений: На промежутке $(-1; 1)$ значения функции $f(x)=3x$ заполняют интервал от $3 \cdot (-1)=-3$ до $3 \cdot 1=3$. Так как концы промежутка не включены, область значений на одном периоде, а значит и для всей функции, есть интервал $(-3; 3)$.
Ответ: $E(f) = (-3; 3)$.

Промежутки монотонности: Производная функции на $(-1; 1)$ равна $f'(x) = 3$. Так как $f'(x) > 0$, функция строго возрастает на этом промежутке. В силу периодичности, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков $(-1+2k; 1+2k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Так как область значений функции — открытый интервал $E(f) = (-3; 3)$, функция не достигает своих точных верхней и нижней граней. Следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Нули функции: На промежутке $(-1; 1)$ решаем уравнение $f(x) = 3x = 0$, откуда $x=0$. Учитывая период $T=2$, все нули функции находятся по формуле $x_k = 0 + 2k$.
Ответ: $x = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $(-1; 1)$: $f(x) > 0$ при $3x > 0 \implies x \in (0; 1)$; $f(x) < 0$ при $3x < 0 \implies x \in (-1; 0)$. С учётом периодичности:
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (2k; 1+2k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) < 0$ при $x \in (-1+2k; 2k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат. Для $x \in (-1; 1)$ имеем $f(-x) = 3(-x) = -3x = -f(x)$. Можно показать, что это свойство сохраняется для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

б)

График функции: На основном отрезке $[-2; 2]$ график функции $y=4-x^2$ представляет собой дугу параболы с ветвями вниз, вершиной в точке $(0, 4)$ и нулями в точках $x=-2$ и $x=2$. В силу периодичности с периодом $T=4$, эта дуга повторяется вдоль всей оси $Ox$. График является непрерывной кривой.

Область определения: Функция задана на отрезке $[-2; 2]$ длиной 4, что равно периоду. В силу периодичности, функция определена для всех действительных чисел, так как объединение отрезков $[-2+4k; 2+4k]$ покрывает всю числовую ось.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$.

Область значений: На отрезке $[-2; 2]$ максимальное значение функции $f(x)=4-x^2$ равно $f(0)=4$, а минимальное $f(-2)=f(2)=0$. Так как это полный период, область значений всей функции совпадает с областью значений на этом отрезке.
Ответ: $E(f) = [0; 4]$.

Промежутки монотонности: Производная $f'(x)=-2x$. На $[-2; 2]$ функция возрастает при $f'(x)>0$, т.е. на $[-2; 0]$, и убывает при $f'(x)<0$, т.е. на $[0; 2]$. С учётом периодичности:
Ответ: функция возрастает на отрезках $[4k-2; 4k]$ и убывает на отрезках $[4k; 4k+2]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Из области значений $E(f)=[0; 4]$ видно, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее — 0. Максимум достигается при $x=0$ и в точках $x=4k$. Минимум — в точках $x=\pm 2$ и в точках $x=4k \pm 2$.
Ответ: $y_{наиб.} = 4$ при $x=4k, k \in \mathbb{Z}$; $y_{наим.} = 0$ при $x=4k \pm 2, k \in \mathbb{Z}$.

Нули функции: На $[-2; 2]$ решаем $4-x^2=0$, откуда $x=\pm 2$. С учётом периода $T=4$, все нули находятся по формулам $x = 2+4k$ и $x = -2+4k$.
Ответ: $x = 4k \pm 2$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $[-2; 2]$ функция $f(x)=4-x^2 \ge 0$. Она равна нулю только в концах отрезка. Таким образом, $f(x)>0$ на $(-2; 2)$. Функция неотрицательна на всей области определения.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (4k-2; 4k+2)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$ при $x=4k \pm 2$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична. Для любого $x$ из основного отрезка $[-2; 2]$ имеем $f(-x) = 4 - (-x)^2 = 4 - x^2 = f(x)$. Это свойство сохраняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: функция чётная.

в)

График функции: На промежутке $[0; 3)$ график функции $y=2-x$ представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(0, 2)$ (включительно) с точкой $(3, -1)$ (исключительно). В силу периодичности с периодом $T=3$, этот фрагмент повторяется. В точках $x=3k$ происходят разрывы первого рода (скачки).

Область определения: Функция задана на $[0; 3)$. Периодическое продолжение на всю ось ($f(x)=f(x-3k)$, где $x-3k \in [0;3)$) определяет функцию для любого действительного $x$.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R}$.

Область значений: На $[0; 3)$ функция $y=2-x$ убывает от $f(0)=2$ до значения, к которому она стремится при $x \to 3^-$, т.е. до $-1$. Так как $f(0)=2$ достигается, а $-1$ нет, то область значений есть полуинтервал.
Ответ: $E(f) = (-1; 2]$.

Промежутки монотонности: Производная $f'(x)=-1 < 0$ на основном промежутке. Функция убывает на каждом промежутке вида $[3k; 3k+3)$.
Ответ: функция убывает на каждом из промежутков $[3k; 3k+3)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Из области значений $E(f)=(-1; 2]$ следует, что наибольшее значение равно 2. Оно достигается при $x=0$ и, в силу периодичности, при $x=3k$. Наименьшее значение не достигается.
Ответ: $y_{наиб.} = 2$ при $x=3k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшего значения нет.

Нули функции: На $[0; 3)$ решаем $2-x=0$, откуда $x=2$. С учётом периода $T=3$, все нули находятся по формуле $x_k = 2+3k$.
Ответ: $x = 2 + 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $[0; 3)$: $f(x)>0$ при $2-x>0 \implies x<2$, т.е. на $[0; 2)$. $f(x)<0$ при $2-x<0 \implies x>2$, т.е. на $(2; 3)$. С учётом периодичности:
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [3k; 3k+2)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) < 0$ при $x \in (3k+2; 3k+3)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична. Проверим свойство: $f(1)=2-1=1$, а $f(-1)=f(-1+3)=f(2)=2-2=0$. Так как $f(-1) \ne f(1)$ и $f(-1) \ne -f(1)$, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).

г)

График функции: На интервале $(0; 1)$ график $y=2x^2-1$ является частью параболы с вершиной в $(0, -1)$ и ветвями вверх. График на $(0; 1)$ — это дуга от точки $(0, -1)$ до $(1, 1)$, обе точки выколоты. Этот фрагмент повторяется с периодом $T=1$. В целых точках $x=k$ функция имеет разрывы.

Область определения: Функция задана на $(0; 1)$. Периодическое продолжение определяет её на всех интервалах $(k; k+1)$ для $k \in \mathbb{Z}$. Целые числа не входят в область определения.
Ответ: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$.

Область значений: На $(0; 1)$ функция $f(x)=2x^2-1$ возрастает от значения, к которому она стремится при $x \to 0^+$, т.е. $-1$, до значения при $x \to 1^-$, т.е. $1$. Концевые значения не достигаются.
Ответ: $E(f) = (-1; 1)$.

Промежутки монотонности: Производная $f'(x)=4x > 0$ для $x \in (0; 1)$. Функция строго возрастает на основном интервале, а значит, и на всех интервалах вида $(k; k+1)$.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков $(k; k+1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения: Область значений $E(f)=(-1; 1)$ — открытый интервал. Следовательно, функция не достигает своих точных верхней и нижней граней.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Нули функции: На $(0; 1)$ решаем $2x^2-1=0 \implies x^2=1/2$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=1/\sqrt{2}$. С учётом периода $T=1$, все нули находятся по формуле $x_k = k + 1/\sqrt{2}$.
Ответ: $x = k + \frac{\sqrt{2}}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: На $(0; 1)$: $f(x)>0$ при $2x^2-1>0 \implies x>1/\sqrt{2}$, т.е. на $(1/\sqrt{2}; 1)$. $f(x)<0$ при $x<1/\sqrt{2}$, т.е. на $(0; 1/\sqrt{2})$. С учётом периодичности:
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (k+\frac{\sqrt{2}}{2}; k+1)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$; $f(x) < 0$ при $x \in (k; k+\frac{\sqrt{2}}{2})$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Исследование функции на чётность-нечётность: Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ симметрична. Возьмём $x=0.25 \in (0;1)$. $f(0.25)=2(0.25)^2-1 = -0.875$. Теперь рассмотрим $-x=-0.25$. $f(-0.25)=f(-0.25+1)=f(0.75)=2(0.75)^2-1=0.125$. Так как $f(-0.25) \ne f(0.25)$ и $f(-0.25) \ne -f(0.25)$, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).