Номер 9.14, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.14. a) Областью определения функции является отрезок или луч;

б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;

в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;

г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.

а) Областью определения функции является отрезок или луч;
Для того чтобы областью определения функции был отрезок, можно взять функцию, содержащую квадратный корень из выражения, которое неотрицательно только на конечном интервале.
Пример: $y = \sqrt{9 - x^2}$. Область определения этой функции задается неравенством $9 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 9$, или $-3 \le x \le 3$. Таким образом, область определения $D(y) = [-3, 3]$, что является отрезком.
Для того чтобы областью определения функции был луч, можно также использовать квадратный корень или логарифмическую функцию.
Пример: $y = \ln(x - 2)$. Область определения этой функции задается строгим неравенством $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Таким образом, область определения $D(y) = (2, +\infty)$, что является лучом.
Ответ: Например, для отрезка: $y = \sqrt{9 - x^2}$, область определения $D(y) = [-3, 3]$. Для луча: $y = \ln(x - 2)$, область определения $D(y) = (2, +\infty)$.

б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;
Рассмотрим функцию $y = \sqrt{\sin(x)}$. Область определения этой функции находится из условия неотрицательности подкоренного выражения: $\sin(x) \ge 0$.
Функция синус неотрицательна на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $y = \sqrt{\sin(x)}$ представляет собой объединение бесконечного множества отрезков: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2\pi k, (2k+1)\pi]$.
Это множество не является всей числовой прямой, так как, например, интервал $(\pi, 2\pi)$ (где $\sin(x) < 0$) не входит в область определения.
Ответ: Например, функция $y = \sqrt{\sin(x)}$, область определения которой $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2\pi k, (2k+1)\pi]$.

в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;
Такой областью определения обладают многие дробно-рациональные функции, знаменатель которых обращается в ноль в единственной точке.
Пример: $y = \frac{x+1}{x - 5}$.
Эта функция определена для всех действительных чисел $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Условие $x - 5 \ne 0$ означает, что $x \ne 5$.
Таким образом, область определения функции – это вся числовая прямая, за исключением одной точки $x=5$. В виде множества: $D(y) = (-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$ или $\mathbb{R} \setminus \{5\}$.
Ответ: Например, $y = \frac{1}{x-5}$.

г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.
Такую область определения можно получить, используя функцию, знаменатель которой обращается в ноль в бесконечном множестве точек. Часто для этого используют периодические функции.
Пример: $y = \tan(x)$, которую можно записать как $y = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
Эта функция не определена в точках, где знаменатель $\cos(x)$ равен нулю. Уравнение $\cos(x) = 0$ имеет бесконечное множество решений: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции – это вся числовая прямая, кроме бесконечного множества точек $\dots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
Ответ: Например, $y = \tan(x)$.