Номер 9.12, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.12. Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняется равенство $f(x - 0,1) = f(x + 0,1) = f(x)$.

Докажите, что тогда для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$.

По условию задачи, для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняется равенство $f(x - 0,1) = f(x + 0,1) = f(x)$. Это означает, что одновременно верны два равенства:

1. $f(x + 0,1) = f(x)$

2. $f(x - 0,1) = f(x)$

Наша цель — доказать, что $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$. Докажем по отдельности равенства $f(x+2)=f(x)$ и $f(x-2)=f(x)$.

Сначала докажем, что $f(x+2) = f(x)$. Для этого покажем, что для любого натурального числа $n$ выполняется равенство $f(x + n \cdot 0,1) = f(x)$. Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: При $n=1$ равенство $f(x + 1 \cdot 0,1) = f(x)$ верно по условию задачи.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ верно равенство $f(x + k \cdot 0,1) = f(x)$. Докажем, что оно верно и для $k+1$.

Рассмотрим $f(x + (k+1) \cdot 0,1) = f((x + k \cdot 0,1) + 0,1)$. Обозначим $z = x + k \cdot 0,1$. Тогда выражение примет вид $f(z + 0,1)$. По условию, $f(z + 0,1) = f(z)$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $f(x + k \cdot 0,1)$. По нашему индукционному предположению, $f(x + k \cdot 0,1) = f(x)$. Следовательно, $f(x + (k+1) \cdot 0,1) = f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x + n \cdot 0,1) = f(x)$ для любого натурального $n$.

Поскольку $2 = 20 \cdot 0,1$, мы можем применить доказанное утверждение при $n=20$:

$f(x+2) = f(x + 20 \cdot 0,1) = f(x)$.

Теперь докажем, что $f(x-2) = f(x)$. Аналогично, докажем методом математической индукции, что для любого натурального числа $n$ выполняется $f(x - n \cdot 0,1) = f(x)$.

База индукции: При $n=1$ равенство $f(x - 1 \cdot 0,1) = f(x)$ верно по условию задачи.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k$ верно $f(x - k \cdot 0,1) = f(x)$. Докажем его для $k+1$.

Рассмотрим $f(x - (k+1) \cdot 0,1) = f((x - k \cdot 0,1) - 0,1)$. Обозначим $z = x - k \cdot 0,1$. Выражение примет вид $f(z - 0,1)$. По условию, $f(z - 0,1) = f(z)$. Возвращаясь к $x$, получаем $f(x - k \cdot 0,1)$, что по предположению индукции равно $f(x)$. Следовательно, $f(x - (k+1) \cdot 0,1) = f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x - n \cdot 0,1) = f(x)$ для любого натурального $n$.

Так как $2 = 20 \cdot 0,1$, выберем $n=20$ в доказанном равенстве:

$f(x-2) = f(x - 20 \cdot 0,1) = f(x)$.

Итак, мы показали, что $f(x+2) = f(x)$ и $f(x-2) = f(x)$. Из этих двух равенств следует, что $f(x-2) = f(x+2) = f(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.