Номер 9.22, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.22. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 5 и $f(x) = x^2 + 2x$ на полуинтервале $(-3; 2]$. Решите:

а) уравнение $f(x) = 0$;

б) неравенство $f(x) > 3$;

в) уравнение $f(x) = 8$;

г) неравенство $f(x) < 0$.

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T=5$, и на полуинтервале $(-3; 2]$ она задается формулой $f(x) = x^2 + 2x$. Для решения уравнений и неравенств мы сначала найдем их решения на этом базовом полуинтервале, а затем обобщим их на всю числовую прямую, используя свойство периодичности.

а) уравнение $f(x) = 0$

Сначала решим уравнение на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Оба этих значения принадлежат полуинтервалу $(-3; 2]$.

Так как функция периодическая с периодом $5$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к найденным корням числа, кратные $5$. Таким образом, общие решения имеют вид:

$x = 0 + 5k = 5k$

$x = -2 + 5k$

где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = 5k$, $x = -2 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) неравенство $f(x) > 3$

Сначала решим неравенство на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x > 3$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < -3$ или $x > 1$.

Теперь найдем пересечение этого множества решений $(-\infty; -3) \cup (1; \infty)$ с полуинтервалом $(-3; 2]$. Пересечением является множество $(1; 2]$.

Используя периодичность функции с периодом $5$, мы получаем, что общее решение является объединением всех интервалов, полученных сдвигом $(1; 2]$ на $5k$ для всех целых $k$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (1 + 5k; 2 + 5k]$.

в) уравнение $f(x) = 8$

Сначала решим уравнение на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Проверим принадлежность корней полуинтервалу $(-3; 2]$. Корень $x = 2$ принадлежит этому полуинтервалу. Корень $x = -4$ не принадлежит.

Таким образом, на базовом полуинтервале есть единственное решение $x = 2$.

В силу периодичности функции с периодом $5$, все решения уравнения имеют вид:

$x = 2 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2 + 5k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) неравенство $f(x) < 0$

Сначала решим неравенство на полуинтервале $(-3; 2]$:

$x^2 + 2x < 0$

$x(x + 2) < 0$

Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=-2$. Неравенство выполняется между корнями.

Решением является интервал $(-2; 0)$. Этот интервал полностью содержится в базовом полуинтервале $(-3; 2]$.

Используя периодичность функции с периодом $5$, получаем общее решение как объединение всех интервалов, полученных сдвигом $(-2; 0)$ на $5k$ для всех целых $k$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (-2 + 5k; 5k)$.