Номер 10.25, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.25. $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — взаимно обратные функции.

a) $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$. Решите уравнения $f(x) = 7$ и $g(x) = 3$.

б) $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$. Решите уравнения $f(x^2) = 25$ и $g(x^2) = 4$.

в) $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$. Решите уравнения $f(t) = -7$ и $g(t) = 15$.

г) $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$. Решите уравнения $f(3x) = 7$ и $g(5 - x) = 7$.

Основное свойство взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ заключается в том, что если $f(a) = b$, то $g(b) = a$ (и наоборот).

а) Дано: $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$.

Для решения уравнения $f(x) = 7$ используем данное условие $g(7) = 1$. Так как функции взаимно обратные, из $g(7) = 1$ следует, что $f(1) = 7$. Сравнивая это равенство с уравнением $f(x) = 7$, получаем, что $x=1$.
Ответ: $1$.

Для решения уравнения $g(x) = 3$ используем данное условие $f(3) = 5$. Из $f(3) = 5$ следует, что $g(5) = 3$. Сравнивая это равенство с уравнением $g(x) = 3$, получаем, что $x=5$.
Ответ: $5$.

б) Дано: $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$.

Для решения уравнения $f(x^2) = 25$ используем данное условие $g(25) = 9$. Из него следует, что $f(9) = 25$. Сравнивая с $f(x^2) = 25$, получаем уравнение $x^2 = 9$, решениями которого являются $x = 3$ и $x = -3$.
Ответ: $3; -3$.

Для решения уравнения $g(x^2) = 4$ используем данное условие $f(4) = 4$. Из него следует, что $g(4) = 4$. Сравнивая с $g(x^2) = 4$, получаем уравнение $x^2 = 4$, решениями которого являются $x = 2$ и $x = -2$.
Ответ: $2; -2$.

в) Дано: $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$.

Для решения уравнения $f(t) = -7$ используем данное условие $g(-7) = 1$. Из него следует, что $f(1) = -7$. Сравнивая с уравнением $f(t) = -7$, получаем, что $t=1$.
Ответ: $1$.

Для решения уравнения $g(t) = 15$ используем данное условие $f(15) = -3$. Из него следует, что $g(-3) = 15$. Сравнивая с уравнением $g(t) = 15$, получаем, что $t=-3$.
Ответ: $-3$.

г) Дано: $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$.

Для решения уравнения $f(3x) = 7$ используем данное условие $g(7) = 1$. Из него следует, что $f(1) = 7$. Сравнивая с $f(3x) = 7$, получаем уравнение $3x = 1$, решением которого является $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Для решения уравнения $g(5 - x) = 7$ используем данное условие $f(7) = 5$. Из него следует, что $g(5) = 7$. Сравнивая с $g(5 - x) = 7$, получаем уравнение $5 - x = 5$, решением которого является $x = 0$.
Ответ: $0$.