Номер 10.23, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.23. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:

а) $y = \begin{cases} 2x - 5, \text{ если } x \le 1 \\ x - 6, \text{ если } x > 1 \end{cases}$ на $(-\infty; 1]$, на $(1; +\infty)$, на $R$;

б) $y = \begin{cases} 5 - x, \text{ если } x \le 2 \\ 7 - 2x, \text{ если } x > 2 \end{cases}$ на $(-\infty; 2]$, на $(2; +\infty)$, на $R$;

в) $y = \begin{cases} 3x + 5, \text{ если } x \le 0 \\ x^2, \text{ если } x > 0 \end{cases}$ на $(-\infty; 0]$, на $(0; +\infty)$, на $R$;

г) $y = \begin{cases} 3 - x, \text{ если } x \le 0 \\ 2 - 7x, \text{ если } x > 0 \end{cases}$ на $(-\infty; 0]$, на $(0; +\infty)$, на $R$.

а) Дана функция $y = \begin{cases} 2x - 5, & \text{если } x \le 1 \\ x - 6, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 1]$:

На этом промежутке функция задана формулой $y = 2x - 5$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она строго возрастает. Значит, обратная функция существует.

Найдем область значений функции на этом промежутке. Если $x \le 1$, то $2x \le 2$, и $2x - 5 \le -3$. Область значений: $(-\infty; -3]$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = 2x - 5 \Rightarrow 2x = y + 5 \Rightarrow x = \frac{y + 5}{2}$.

Меняя $x$ и $y$ местами, получаем обратную функцию $y = \frac{x + 5}{2}$. Ее область определения — это область значений исходной функции, то есть $(-\infty; -3]$.

Ответ: $y = \frac{x + 5}{2}$, при $x \in (-\infty; -3]$.

На промежутке $(1; +\infty)$:

На этом промежутке функция задана формулой $y = x - 6$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=1$, следовательно, она строго возрастает. Значит, обратная функция существует.

Найдем область значений. Если $x > 1$, то $x - 6 > 1 - 6 = -5$. Область значений: $(-5; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = x - 6 \Rightarrow x = y + 6$.

Меняя $x$ и $y$ местами, получаем обратную функцию $y = x + 6$. Ее область определения — $(-5; +\infty)$.

Ответ: $y = x + 6$, при $x \in (-5; +\infty)$.

На $\mathbf{R}$:

Чтобы функция имела обратную на всей числовой прямой, она должна быть строго монотонной. Проверим монотонность. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$ и на $(1; +\infty)$. Однако в точке $x=1$ происходит разрыв: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = 2(1) - 5 = -3$, а $\lim_{x \to 1^+} y(x) = 1 - 6 = -5$.

Функция не является монотонной на $\mathbf{R}$. Например, возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Имеем $x_1 < x_2$, но $y(1) = -3$, а $y(2) = 2 - 6 = -4$, то есть $y(1) > y(2)$. Также функция не является взаимно-однозначной. Например, значению $y = -4.5$ соответствуют два значения $x$: $2x - 5 = -4.5 \Rightarrow x=0.25$ и $x - 6 = -4.5 \Rightarrow x=1.5$. Следовательно, обратной функции на $\mathbf{R}$ не существует.

Ответ: обратной функции не существует.

б) Дана функция $y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x \le 2 \\ 7 - 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 2]$:

Функция $y = 5 - x$ является линейной с отрицательным коэффициентом $k=-1$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x \le 2$, $-x \ge -2$, $5-x \ge 3$. Область значений: $[3; +\infty)$.

Выразим $x$: $y = 5 - x \Rightarrow x = 5 - y$. Обратная функция: $y = 5 - x$ с областью определения $[3; +\infty)$.

Ответ: $y = 5 - x$, при $x \in [3; +\infty)$.

На промежутке $(2; +\infty)$:

Функция $y = 7 - 2x$ является линейной с отрицательным коэффициентом $k=-2$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x > 2$, $2x > 4$, $-2x < -4$, $7 - 2x < 3$. Область значений: $(-\infty; 3)$.

Выразим $x$: $y = 7 - 2x \Rightarrow 2x = 7 - y \Rightarrow x = \frac{7 - y}{2}$. Обратная функция: $y = \frac{7 - x}{2}$ с областью определения $(-\infty; 3)$.

Ответ: $y = \frac{7 - x}{2}$, при $x \in (-\infty; 3)$.

На $\mathbf{R}$:

Функция убывает на каждом из промежутков. Проверим непрерывность в точке $x=2$: $\lim_{x \to 2^-} y(x) = 5 - 2 = 3$. $\lim_{x \to 2^+} y(x) = 7 - 2(2) = 3$. $y(2) = 3$. Функция непрерывна в точке $x=2$ и убывает на всей области определения $\mathbf{R}$. Следовательно, обратная функция существует.

Область значений исходной функции на $\mathbf{R}$ есть объединение областей значений на $(-\infty; 2]$ и $(2; +\infty)$, то есть $(-\infty; 3) \cup [3; +\infty) = \mathbf{R}$.

Составим обратную функцию из найденных частей. Область определения обратной функции - $\mathbf{R}$. Если $x < 3$ (соответствует $y \in (-\infty; 3)$), то обратная функция $y = \frac{7 - x}{2}$. Если $x \ge 3$ (соответствует $y \in [3; +\infty)$), то обратная функция $y = 5 - x$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{7 - x}{2}, & \text{если } x < 3 \\ 5 - x, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$.

в) Дана функция $y = \begin{cases} 3x + 5, & \text{если } x \le 0 \\ x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 0]$:

Функция $y = 3x + 5$ является линейной с $k=3>0$, она строго возрастает. Обратная функция существует. Область значений: при $x \le 0$, $3x \le 0$, $3x + 5 \le 5$. Область значений: $(-\infty; 5]$.

Выразим $x$: $y = 3x + 5 \Rightarrow 3x = y - 5 \Rightarrow x = \frac{y - 5}{3}$. Обратная функция: $y = \frac{x - 5}{3}$ с областью определения $(-\infty; 5]$.

Ответ: $y = \frac{x - 5}{3}$, при $x \in (-\infty; 5]$.

На промежутке $(0; +\infty)$:

Функция $y = x^2$ при $x > 0$ строго возрастает. Обратная функция существует. Область значений: при $x > 0$, $x^2 > 0$. Область значений: $(0; +\infty)$.

Выразим $x$: $y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}$ (берем положительный корень, так как $x > 0$). Обратная функция: $y = \sqrt{x}$ с областью определения $(0; +\infty)$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \in (0; +\infty)$.

На $\mathbf{R}$:

Функция возрастает на каждом из промежутков. Проверим точку $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = 3(0) + 5 = 5$. $\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0^2 = 0$. Функция имеет разрыв. Она не является монотонной на $\mathbf{R}$. Например, $x_1 = -1 < x_2 = 1$, но $y(-1) = 3(-1)+5 = 2$, а $y(1) = 1^2 = 1$, то есть $y(-1) > y(1)$. Функция не является взаимно-однозначной, так как области значений $(-\infty; 5]$ и $(0; +\infty)$ пересекаются. Например, $y = 4$ достигается при $3x+5=4 \Rightarrow x=-1/3$ и при $x^2=4 \Rightarrow x=2$. Следовательно, обратной функции на $\mathbf{R}$ не существует.

Ответ: обратной функции не существует.

г) Дана функция $y = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \le 0 \\ 2 - 7x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

На промежутке $(-\infty; 0]$:

Функция $y = 3 - x$ является линейной с $k=-1<0$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x \le 0$, $-x \ge 0$, $3 - x \ge 3$. Область значений: $[3; +\infty)$.

Выразим $x$: $y = 3 - x \Rightarrow x = 3 - y$. Обратная функция: $y = 3 - x$ с областью определения $[3; +\infty)$.

Ответ: $y = 3 - x$, при $x \in [3; +\infty)$.

На промежутке $(0; +\infty)$:

Функция $y = 2 - 7x$ является линейной с $k=-7<0$, она строго убывает. Обратная функция существует. Область значений: при $x > 0$, $7x > 0$, $-7x < 0$, $2-7x < 2$. Область значений: $(-\infty; 2)$.

Выразим $x$: $y = 2 - 7x \Rightarrow 7x = 2 - y \Rightarrow x = \frac{2 - y}{7}$. Обратная функция: $y = \frac{2 - x}{7}$ с областью определения $(-\infty; 2)$.

Ответ: $y = \frac{2 - x}{7}$, при $x \in (-\infty; 2)$.

На $\mathbf{R}$:

Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и на $(0; +\infty)$. Проверим поведение функции в целом. При $x \le 0$ значения функции лежат в промежутке $[3; +\infty)$. При $x > 0$ значения функции лежат в промежутке $(-\infty; 2)$. Так как эти промежутки не пересекаются, каждому значению $y$ соответствует не более одного значения $x$, то есть функция взаимно-однозначна. Кроме того, если взять любое $x_1 \le 0$ и любое $x_2 > 0$, то $x_1 < x_2$, при этом $y(x_1) = 3 - x_1 \ge 3$, а $y(x_2) = 2 - 7x_2 < 2$. Таким образом, $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция строго убывает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$. Следовательно, обратная функция существует.

Область значений исходной функции: $(-\infty; 2) \cup [3; +\infty)$. Это будет область определения обратной функции.

Собираем обратную функцию из частей: Если $x < 2$ (соответствует $y \in (-\infty; 2)$), то обратная функция $y = \frac{2 - x}{7}$. Если $x \ge 3$ (соответствует $y \in [3; +\infty)$), то обратная функция $y = 3 - x$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{2 - x}{7}, & \text{если } x < 2 \\ 3 - x, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$, область определения $(-\infty; 2) \cup [3; +\infty)$.