Номер 10.24, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.24. Постройте на одном чертеже какие-нибудь графики двух взаимно обратных непрерывных на $(-5; 10)$ функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, для которых:

а) $f(3) = 3, g(5) = 5;$

б) $f(3) = 7, f(7) = 8, g(9) = 9;$

в) $f(-1) = -1, g(3) = 3;$

г) $f(1) = 9, f(2) = 7, g(4) = 4.$

Две функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ являются взаимно обратными, если выполнение равенства $f(a) = b$ эквивалентно выполнению равенства $g(b) = a$. Геометрически это означает, что их графики симметричны относительно прямой $y = x$. Если точка $(a, b)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(b, a)$ должна лежать на графике $y = g(x)$.

Для существования непрерывной обратной функции на интервале, исходная функция должна быть на этом интервале строго монотонной (либо строго возрастать, либо строго убывать). Для построения графиков в каждом пункте мы сначала определим набор ключевых точек для обеих функций, исходя из заданных условий и свойства симметрии. Затем, для построения, мы соединим эти точки отрезками прямых. Полученные непрерывные ломаные линии и будут являться графиками искомых функций. Такой способ построения гарантирует непрерывность и позволяет легко обеспечить монотонность и симметрию.

Из условия $f(3) = 3$ следует, что точка $(3, 3)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Так как эта точка лежит на прямой $y=x$, она также принадлежит и графику обратной функции $y = g(x)$, то есть $g(3) = 3$.Аналогично, из условия $g(5) = 5$ следует, что точка $(5, 5)$ принадлежит графику $y = g(x)$ и, в силу симметрии, также и графику $y = f(x)$, то есть $f(5) = 5$.Итак, оба графика проходят через точки $(3, 3)$ и $(5, 5)$.Чтобы построить графики, не совпадающие с прямой $y=x$, выберем еще одну точку для $f(x)$, не лежащую на этой прямой. Пусть, например, $f(0) = 1$. Тогда точка $(0, 1)$ лежит на графике $f(x)$.Из свойства взаимной обратимости следует, что $g(1) = 0$, то есть точка $(1, 0)$ лежит на графике $g(x)$.Теперь у нас есть набор точек для построения возрастающей функции $f(x)$: $(0, 1), (3, 3), (5, 5)$.Соответствующий набор точек для $g(x)$: $(1, 0), (3, 3), (5, 5)$.

Ответ: Для построения графика $y=f(x)$ нужно на координатной плоскости отметить точки $(0, 1)$, $(3, 3)$, $(5, 5)$ и соединить их последовательно отрезками прямых. Для построения графика $y=g(x)$ нужно отметить точки $(1, 0)$, $(3, 3)$, $(5, 5)$ и также соединить их отрезками. Полученные графики будут непрерывными, симметричными относительно прямой $y=x$ и удовлетворять заданным условиям. При желании графики можно продолжить в обе стороны в пределах интервала $(-5; 10)$, сохраняя монотонность и симметрию.

Проанализируем условия и используем свойство обратных функций:1. $f(3) = 7 \implies$ точка $(3, 7)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(7, 3)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(7) = 3$.2. $f(7) = 8 \implies$ точка $(7, 8)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(8, 7)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(8) = 7$.3. $g(9) = 9 \implies$ точка $(9, 9)$ принадлежит графику $g(x)$. Так как эта точка лежит на прямой $y=x$, она также принадлежит и графику $f(x)$, т.е. $f(9) = 9$.Соберем все точки для $f(x)$: $(3, 7), (7, 8), (9, 9)$. Заметим, что при возрастании $x$ от $3$ до $9$, значения $y$ также возрастают ($7 < 8 < 9$), значит, функция $f(x)$ может быть строго возрастающей.Точки для $g(x)$: $(7, 3), (8, 7), (9, 9)$.

Ответ: Построим график $y=f(x)$, соединив отрезками точки $(3, 7)$, $(7, 8)$ и $(9, 9)$. Построим график $y=g(x)$, соединив отрезками точки $(7, 3)$, $(8, 7)$ и $(9, 9)$. Полученные ломаные являются графиками взаимно обратных непрерывных функций, удовлетворяющих условиям задачи.

Данные условия аналогичны условиям из пункта (а).Из $f(-1) = -1$ следует, что точка $(-1, -1)$ лежит на графике $f(x)$. Так как она на прямой $y=x$, то и $g(-1) = -1$.Из $g(3) = 3$ следует, что точка $(3, 3)$ лежит на графике $g(x)$. Так как она на прямой $y=x$, то и $f(3) = 3$.Оба графика проходят через точки $(-1, -1)$ и $(3, 3)$.Для построения нетривиального примера выберем дополнительную точку. Пусть $f(1) = 2$. Тогда точка $(1, 2)$ лежит на графике $f(x)$.Следовательно, точка $(2, 1)$ лежит на графике $g(x)$ (так как $g(2)=1$).Набор точек для возрастающей функции $f(x)$: $(-1, -1), (1, 2), (3, 3)$.Набор точек для обратной ей функции $g(x)$: $(-1, -1), (2, 1), (3, 3)$.

Ответ: Начертить график $y=f(x)$, соединив отрезками точки $(-1, -1)$, $(1, 2)$ и $(3, 3)$. Начертить график $y=g(x)$, соединив отрезками точки $(-1, -1)$, $(2, 1)$ и $(3, 3)$. Эти графики удовлетворяют всем условиям задачи.

Проанализируем условия:1. $f(1) = 9 \implies$ точка $(1, 9)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(9, 1)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(9) = 1$.2. $f(2) = 7 \implies$ точка $(2, 7)$ принадлежит графику $f(x)$. Следовательно, точка $(7, 2)$ принадлежит графику $g(x)$, т.е. $g(7) = 2$.3. $g(4) = 4 \implies$ точка $(4, 4)$ принадлежит графику $g(x)$. Так как она лежит на прямой $y=x$, то она принадлежит и графику $f(x)$, т.е. $f(4) = 4$.Соберем точки для $f(x)$: $(1, 9), (2, 7), (4, 4)$. Заметим, что при возрастании $x$ от $1$ до $4$, значения $y$ убывают ($9 > 7 > 4$), значит, функция $f(x)$ может быть строго убывающей.Точки для $g(x)$: $(9, 1), (7, 2), (4, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y=f(x)$ нужно соединить отрезками точки $(1, 9)$, $(2, 7)$ и $(4, 4)$. Для построения графика $y=g(x)$ нужно соединить отрезками точки $(9, 1)$, $(7, 2)$ и $(4, 4)$. Полученные графики являются графиками взаимно обратных, непрерывных, убывающих функций и удовлетворяют заданным условиям.