Номер 10.31, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.31. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, чтобы уравнение $f(x) = x$:

а) имело один корень;

б) имело три корня;

в) имело бесконечно много корней;

г) не имело корней.

Для решения задачи нам нужно найти функцию $y=f(x)$, которая является строго монотонной (чтобы у нее существовала обратная функция $y=g(x)$), и график которой пересекает прямую $y=x$ требуемое количество раз. График обратной функции $y=g(x)$ будет симметричен графику $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=x$ являются неподвижными при симметрии относительно этой прямой, поэтому они также принадлежат графику обратной функции $y=g(x)$.

а) имело один корень

Уравнение $f(x)=x$ должно иметь один корень. Это означает, что график функции $y=f(x)$ должен пересекать прямую $y=x$ ровно в одной точке. Рассмотрим простейший случай — линейную функцию $f(x)=kx+b$. Чтобы она была обратимой, нужно $k \neq 0$. Уравнение $f(x)=x$ принимает вид $kx+b=x$, или $(k-1)x=-b$. Если $k \neq 1$, это уравнение всегда имеет ровно один корень $x = -b/(k-1)$. Возьмем, к примеру, функцию $f(x)=2x$. Она является строго возрастающей, так как ее производная $f'(x)=2>0$. Уравнение $f(x)=x$ превращается в $2x=x$, откуда $x=0$. Это единственный корень. Обратная функция $g(x)$ находится из уравнения $y=2x \implies x=y/2$. Таким образом, $g(x)=x/2$. На одном чертеже строим три графика: прямую $y=x$, прямую $y=f(x)=2x$ и прямую $y=g(x)=x/2$. Все три прямые пересекаются в одной точке — начале координат $(0,0)$.
Ответ: $f(x) = 2x$ и $g(x) = \frac{1}{2}x$.

б) имело три корня

Нам нужна строго монотонная функция, график которой пересекает прямую $y=x$ в трех точках. Если функция $f(x)$ строго убывающая, то функция $h(x)=f(x)-x$ также строго убывающая и может иметь не более одного корня. Следовательно, $f(x)$ должна быть строго возрастающей. Подберем функцию в виде многочлена. Пусть корни уравнения $f(x)=x$ будут $x=-1, 0, 1$. Тогда разность $f(x)-x$ должна иметь вид $k \cdot x(x-1)(x+1) = k(x^3-x)$. Отсюда $f(x) = kx^3 + (1-k)x$. Чтобы функция $f(x)$ была строго возрастающей, ее производная $f'(x) = 3kx^2 + 1-k$ должна быть неотрицательной при всех $x$. Если выбрать $k>0$, то наименьшее значение производной достигается при $x=0$ и равно $1-k$. Условие $1-k \ge 0$ дает $k \le 1$. Выберем $k=1/2$. Тогда $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + (1-\frac{1}{2})x = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x$. Эта функция является строго возрастающей, так как ее производная $f'(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2} > 0$ для всех $x$. Уравнение $f(x)=x$ имеет вид $\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x = x$, что равносильно $\frac{1}{2}x(x^2-1)=0$, и имеет три корня: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$. График функции $y=f(x)$ — это возрастающая кубическая кривая, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$, которые лежат на прямой $y=x$. График обратной функции $y=g(x)$ симметричен ему относительно прямой $y=x$ и также проходит через эти три точки.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x$ и обратная к ней функция $g(x)$.

в) имело бесконечно много корней

Чтобы уравнение $f(x)=x$ имело бесконечно много корней, график функции $y=f(x)$ должен совпадать с прямой $y=x$ на некотором отрезке. При этом функция $f(x)$ должна быть строго монотонной на всей области определения. Рассмотрим кусочно-заданную функцию. Пусть $f(x)=x$ на отрезке $[-1, 1]$. Вне этого отрезка определим функцию так, чтобы она оставалась строго возрастающей. Например, пусть $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < -1 \\ x, & -1 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ Эта функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси, а значит, обратима. На отрезке $[-1, 1]$ уравнение $f(x)=x$ выполняется для всех точек, то есть имеет бесконечное множество решений. Найдем обратную функцию $g(x)$. При $y > 1$, $y = 2x - 1 \implies x = (y+1)/2$. При $-1 \le y \le 1$, $y=x \implies x=y$. При $y < -1$, $y = 2x + 1 \implies x = (y-1)/2$. Следовательно, обратная функция имеет вид: $g(x) = \begin{cases} (x-1)/2, & x < -1 \\ x, & -1 \le x \le 1 \\ (x+1)/2, & x > 1 \end{cases}$ Графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ совпадают с прямой $y=x$ на отрезке от точки $(-1, -1)$ до $(1, 1)$. Вне этого отрезка они расходятся, оставаясь симметричными друг другу относительно прямой $y=x$.
Ответ: $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < -1 \\ x, & -1 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ и обратная к ней функция $g(x)$.

г) не имело корней

Для этого случая необходимо, чтобы график функции $y=f(x)$ не имел общих точек с прямой $y=x$. Это означает, что для всех $x$ должно выполняться либо $f(x) > x$, либо $f(x) < x$. Функция $f(x)$ при этом должна быть строго монотонной. Рассмотрим функцию $f(x) = x+1$. Эта функция строго возрастающая, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=1$. Уравнение $f(x)=x$ принимает вид $x+1=x$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, уравнение не имеет корней. График функции $y=x+1$ — это прямая, параллельная прямой $y=x$ и расположенная на 1 единицу выше нее. Найдем обратную функцию. Из $y=x+1$ следует $x=y-1$. Значит, $g(x) = x-1$. График обратной функции $y=x-1$ — это прямая, параллельная $y=x$ и расположенная на 1 единицу ниже нее. Оба графика $y=f(x)$ и $y=g(x)$ не пересекают прямую $y=x$.
Ответ: $f(x) = x+1$ и $g(x) = x-1$.