Номер 11.3, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.3. Третья четверть разделена точкой $M$ в отношении 2 : 3,

первая — точкой $P$ в отношении 1 : 5. Найдите длину дуги:

а) $CM$;

б) $AP$;

в) $PM$;

г) $MP$.

Для решения задачи примем, что речь идет о единичной окружности, на которой длина дуги измеряется в радианах. Длина всей окружности равна $2\pi$. Окружность разделена на четыре четверти, длина дуги каждой четверти равна $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Обозначим точки, разделяющие четверти, двигаясь против часовой стрелки от положительной оси абсцисс:

• Точка A: начало отсчета, угол 0 радиан.
• Точка B: конец первой четверти, угол $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Точка C: конец второй четверти, угол $\pi$ радиан.
• Точка D: конец третьей четверти, угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

а) CM:

Третья четверть представляет собой дугу CD, которая начинается в точке C (угол $\pi$) и заканчивается в точке D (угол $\frac{3\pi}{2}$). Длина этой дуги равна $\frac{\pi}{2}$. Точка M делит эту дугу в отношении $2:3$, считая от точки C. Это означает, что дуга CD разделена на $2+3=5$ равных частей. Длина дуги CM составляет 2 из этих 5 частей.

Длина дуги CM = $\frac{\pi}{2} \times \frac{2}{2+3} = \frac{\pi}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{\pi}{5}$.

б) AP:

Первая четверть представляет собой дугу AB, которая начинается в точке A (угол 0) и заканчивается в точке B (угол $\frac{\pi}{2}$). Длина этой дуги равна $\frac{\pi}{2}$. Точка P делит эту дугу в отношении $1:5$, считая от точки A. Это означает, что дуга AB разделена на $1+5=6$ равных частей. Длина дуги AP составляет 1 из этих 6 частей.

Длина дуги AP = $\frac{\pi}{2} \times \frac{1}{1+5} = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

в) PM:

Длина дуги PM — это длина пути по окружности от точки P до точки M в направлении против часовой стрелки. Чтобы ее найти, сначала определим угловое положение точек P и M.

Угловое положение точки P равно длине дуги AP, так как отсчет ведется от точки A (угол 0):

Угол P = $0 + \text{длина дуги AP} = \frac{\pi}{12}$.

Угловое положение точки M равно сумме угла точки C и длины дуги CM:

Угол M = $\pi + \text{длина дуги CM} = \pi + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$.

Теперь найдем длину дуги PM как разность угловых координат:

Длина дуги PM = Угол M - Угол P = $\frac{6\pi}{5} - \frac{\pi}{12}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{12 \times 6\pi}{60} - \frac{5 \times \pi}{60} = \frac{72\pi - 5\pi}{60} = \frac{67\pi}{60}$.

Ответ: $\frac{67\pi}{60}$.

г) MP:

Длина дуги MP — это длина пути по окружности от точки M до точки P в направлении против часовой стрелки. Эта дуга вместе с дугой PM составляет полную окружность. Следовательно, ее длину можно найти, вычтя длину дуги PM из длины полной окружности ($2\pi$).

Длина дуги MP = $2\pi - \text{длина дуги PM} = 2\pi - \frac{67\pi}{60} = \frac{120\pi}{60} - \frac{67\pi}{60} = \frac{53\pi}{60}$.

Другой способ — сложить длины дуг, составляющих путь от M до P: дуга MD, дуга четвертой четверти (DA) и дуга AP.

Длина дуги MD = (Длина третьей четверти) - (Длина дуги CM) = $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi-2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$.

Длина дуги DA (четвертая четверть) = $\frac{\pi}{2}$.

Длина дуги AP = $\frac{\pi}{12}$.

Длина дуги MP = $\frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{18\pi}{60} + \frac{30\pi}{60} + \frac{5\pi}{60} = \frac{18\pi + 30\pi + 5\pi}{60} = \frac{53\pi}{60}$.

Ответ: $\frac{53\pi}{60}$.