Номер 10.32, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.32. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, чтобы уравнение $f(x) = g(x)$:

а) имело один корень;

б) имело три корня;

в) имело бесконечно много корней;

г) не имело корней.

Пусть $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — взаимно обратные функции. По определению, график функции $y=g(x)$ симметричен графику функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Корни уравнения $f(x)=g(x)$ являются абсциссами точек пересечения их графиков.

Точки пересечения графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$ могут:

• Лежать на прямой $y=x$. В этом случае их координаты $(x_0, x_0)$ удовлетворяют уравнению $f(x_0)=x_0$. Если функция $f(x)$ строго возрастает, то все точки пересечения с её обратной функцией лежат на прямой $y=x$.
• Образовывать пары точек $(a, b)$ и $(b, a)$, симметричных относительно прямой $y=x$. Это возможно, если на некотором участке функция $f(x)$ является убывающей.

а) имело один корень;

Чтобы уравнение $f(x)=g(x)$ имело один корень, графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ должны пересекаться в одной точке. Самый простой случай — когда эта точка лежит на прямой $y=x$ и является точкой касания.

Рассмотрим строго возрастающую функцию $f(x)=e^{x-1}$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Для этого выразим $x$ из уравнения $y=e^{x-1}$:

$\ln(y) = x-1$

$x = \ln(y)+1$

Следовательно, обратная функция $g(x) = \ln(x)+1$.

Поскольку функция $f(x)=e^{x-1}$ является строго возрастающей, все точки ее пересечения с обратной функцией лежат на прямой $y=x$. Таким образом, уравнение $f(x)=g(x)$ эквивалентно уравнению $f(x)=x$.

Решим уравнение $e^{x-1}=x$.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = e^{x-1}-x$. Найдем ее производную: $h'(x)=e^{x-1}-1$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $e^{x-1}-1=0 \implies e^{x-1}=1 \implies x-1=0 \implies x=1$.

В точке $x=1$ функция $h(x)$ имеет минимум, так как $h'(x)<0$ при $x<1$ и $h'(x)>0$ при $x>1$.

Значение функции в точке минимума: $h(1)=e^{1-1}-1=e^0-1=0$.

Так как минимальное значение функции $h(x)$ равно нулю, уравнение $h(x)=0$ имеет единственный корень $x=1$.

Таким образом, графики функций $y=e^{x-1}$ и $y=\ln(x)+1$ пересекаются в единственной точке $(1,1)$, которая является их точкой касания с прямой $y=x$.

Ответ: Функции $f(x)=e^{x-1}$ и $g(x)=\ln(x)+1$. Уравнение $f(x)=g(x)$ имеет один корень $x=1$.

б) имело три корня;

Чтобы уравнение имело три корня, можно использовать убывающую функцию. В этом случае точки пересечения могут лежать не только на прямой $y=x$.

Рассмотрим убывающую функцию $f(x)=-x^3$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Выразим $x$ из $y=-x^3$:

$x^3 = -y$

$x = \sqrt[3]{-y} = -\sqrt[3]{y}$

Следовательно, обратная функция $g(x)=-\sqrt[3]{x}$.

Решим уравнение $f(x)=g(x)$:

$-x^3 = -\sqrt[3]{x}$

$x^3 = \sqrt[3]{x}$

Возведем обе части в куб:

$(x^3)^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$x^9 = x$

$x^9 - x = 0$

$x(x^8 - 1) = 0$

$x(x^4-1)(x^4+1) = 0$

$x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = 0$

$x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = 0$

Действительные корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Проверка показывает, что все три корня подходят для исходного уравнения $x^3 = \sqrt[3]{x}$. Точки пересечения графиков: $(0,0)$, $(1,-1)$ и $(-1,1)$. Точка $(0,0)$ лежит на прямой $y=x$, а точки $(1,-1)$ и $(-1,1)$ симметричны относительно этой прямой.

Ответ: Функции $f(x)=-x^3$ и $g(x)=-\sqrt[3]{x}$. Уравнение $f(x)=g(x)$ имеет три корня: $0, 1, -1$.

в) имело бесконечно много корней;

Уравнение $f(x)=g(x)$ будет иметь бесконечно много корней, если графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ совпадают на некотором промежутке. Это происходит, когда график функции $f(x)$ симметричен сам себе относительно прямой $y=x$. Такие функции являются обратными самим себе.

Рассмотрим функцию $f(x)=-x+c$ для любой константы $c$. Например, возьмем $f(x)=-x+2$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Выразим $x$ из $y=-x+2$:

$x = -y+2$

Следовательно, обратная функция $g(x)=-x+2$.

Таким образом, $f(x)=g(x)$. Уравнение $f(x)=g(x)$ принимает вид $-x+2=-x+2$, что является тождеством, верным для любого действительного числа $x$.

Графики функций $y=-x+2$ и ее обратной совпадают (это одна и та же прямая), поэтому они имеют бесконечно много точек пересечения.

Ответ: Функции $f(x)=-x+2$ и $g(x)=-x+2$. Уравнение $f(x)=g(x)$ имеет бесконечно много корней (любое $x \in \mathbb{R}$).

г) не имело корней.

Чтобы уравнение $f(x)=g(x)$ не имело корней, графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ не должны пересекаться. Для строго возрастающей функции это означает, что ее график не должен пересекать прямую $y=x$.

Рассмотрим строго возрастающую функцию $f(x)=x+1$.

Найдем обратную ей функцию $g(x)$. Выразим $x$ из $y=x+1$:

$x = y-1$

Следовательно, обратная функция $g(x)=x-1$.

Решим уравнение $f(x)=g(x)$:

$x+1 = x-1$

$1 = -1$

Полученное равенство неверно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Графики функций $y=x+1$ и $y=x-1$ — это две параллельные прямые, которые не пересекаются. График $y=x+1$ лежит полностью выше прямой $y=x$, а график $y=x-1$ — полностью ниже.

Ответ: Функции $f(x)=x+1$ и $g(x)=x-1$. Уравнение $f(x)=g(x)$ не имеет корней.