Номер 10.30, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.30. Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — взаимно обратные функции.

Постройте на двух различных чертежах графики функций $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если:

a) $D(f) = E(f) = R;$

б) $D(f) = E(f) = (0; 3];$

в) $D(f) = [1; 3]; E(f) = R;$

г) $D(f) = [-2; 3]; E(f) = [-3; 2].$

Основное свойство взаимно обратных функций $f(x)$ и $g(x)$ заключается в том, что их композиция является тождественной функцией. То есть, $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$, и $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $g$. Также, область определения одной функции является областью значений для другой, и наоборот: $D(g) = E(f)$ и $E(g) = D(f)$.

а) Дано: $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), $E(f) = \mathbb{R}$.

Исходя из свойств обратных функций, для функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = \mathbb{R}$ и $E(g) = D(f) = \mathbb{R}$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Композиция $g(f(x)) = x$. Область определения этой функции совпадает с областью определения $f(x)$, то есть $D(g \circ f) = D(f) = \mathbb{R}$. Таким образом, мы строим график функции $y = x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Композиция $f(g(x)) = x$. Область определения этой функции совпадает с областью определения $g(x)$, то есть $D(f \circ g) = D(g) = \mathbb{R}$. Таким образом, мы строим график функции $y = x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Графики обеих функций совпадают. Это прямая $y=x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

б) Дано: $D(f) = (0; 3]$, $E(f) = (0; 3]$.

Для обратной функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = (0; 3]$ и $E(g) = D(f) = (0; 3]$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(f)$, то есть для $x \in (0; 3]$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(g)$, то есть для $x \in (0; 3]$.

Ответ: Графики обеих функций совпадают. Это отрезок прямой $y=x$, у которого начало в точке $(0, 0)$ является выколотым (не включено в график), а конец в точке $(3, 3)$ включен.

в) Дано: $D(f) = [1; 3]$, $E(f) = \mathbb{R}$.

Для обратной функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = \mathbb{R}$ и $E(g) = D(f) = [1; 3]$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(f)$, то есть для $x \in [1; 3]$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(g)$, то есть для $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Графики функций различны.
Для $y = g(f(x))$ графиком является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(1, 1)$ и $(3, 3)$, обе точки включены.
Для $y = f(g(x))$ графиком является вся прямая $y=x$.

г) Дано: $D(f) = [-2; 3]$, $E(f) = [-3; 2]$.

Для обратной функции $g(x)$ имеем: $D(g) = E(f) = [-3; 2]$ и $E(g) = D(f) = [-2; 3]$.

1. График функции $y = g(f(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(f)$, то есть для $x \in [-2; 3]$.

2. График функции $y = f(g(x))$.
Функция задается как $y = x$ на области определения $D(g)$, то есть для $x \in [-3; 2]$.

Ответ: Графики функций различны.
Для $y = g(f(x))$ графиком является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-2, -2)$ и $(3, 3)$, обе точки включены.
Для $y = f(g(x))$ графиком является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-3, -3)$ и $(2, 2)$, обе точки включены.