Номер 10.26, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции $y = f(g(x))$, если:

10.26. а) $f(x) = 4x, g(x) = 0.25x;$

б) $f(x) = x - 3, g(x) = x + 3;$

в) $f(x) = -2x, g(x) = -0.5x;$

г) $f(x) = -5x + 5, g(x) = -0.2x - 1.$

а)

Для построения графика сложной функции $y = f(g(x))$ необходимо сначала найти ее аналитическое выражение. Для этого мы подставляем выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ на место переменной $x$.

В данном случае имеем функции $f(x) = 4x$ и $g(x) = 0,25x$.

Подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(0,25x) = 4 \cdot (0,25x) = 1 \cdot x = x$.

В результате мы получили линейную функцию $y = x$. Ее график — это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат.

Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем:

• При $x=0$, $y=0$. Точка (0; 0).
• При $x=3$, $y=3$. Точка (3; 3).

Соединив эти точки, получим график функции.

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x$.

б)

Даны функции $f(x) = x - 3$ и $g(x) = x + 3$.

Находим выражение для $y = f(g(x))$:

$y = f(g(x)) = f(x+3) = (x + 3) - 3 = x$.

Как и в предыдущем пункте, итоговая функция — $y = x$. Это связано с тем, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными. Их композиция дает тождественную функцию.

Графиком является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 1).

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x$.

в)

Даны функции $f(x) = -2x$ и $g(x) = -0,5x$.

Находим выражение для $y = f(g(x))$:

$y = f(g(x)) = f(-0,5x) = -2 \cdot (-0,5x) = 1 \cdot x = x$.

Снова получили функцию $y = x$. Функции $f(x) = -2x$ и $g(x) = -0,5x$ также являются взаимно обратными.

Графиком является прямая, биссектриса I и III координатных четвертей.

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x$.

г)

Даны функции $f(x) = -5x + 5$ и $g(x) = -0,2x - 1$.

Находим выражение для $y = f(g(x))$:

$y = f(g(x)) = f(-0,2x - 1) = -5(-0,2x - 1) + 5$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = (-5) \cdot (-0,2x) + (-5) \cdot (-1) + 5 = x + 5 + 5 = x + 10$.

Итоговая функция — $y = x + 10$. Это линейная функция, ее график — прямая. Эту прямую можно получить из графика $y=x$ сдвигом на 10 единиц вверх вдоль оси OY.

Для построения найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY (при $x=0$): $y = 0 + 10 = 10$. Точка (0; 10).
• С осью OX (при $y=0$): $0 = x + 10$, откуда $x = -10$. Точка (-10; 0).

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Графиком функции $y = f(g(x))$ является прямая $y = x + 10$.