Номер 10.19, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите её область определения и область значений, постройте её график:

10.19. $y = x^2$:

а) на $\mathbb{R}$;

б) на $[1; +\infty)$;

в) на $(-1; 5];$

г) на $(-\infty; 0].$

а) на R;

Функция имеет обратную на данном промежутке тогда и только тогда, когда она на нем строго монотонна (строго возрастает или строго убывает). Функция $y = x^2$ убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, следовательно, на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ она не является монотонной. Например, для $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$ значения функции совпадают: $y(-2) = 4$ и $y(2) = 4$. Так как разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, функция не является взаимно однозначной, и обратной для нее не существует.

Ответ: на промежутке $\mathbb{R}$ функция $y=x^2$ обратной не имеет.

б) на [1; +?);

На промежутке $[1, +\infty)$ функция $y = x^2$ является строго возрастающей, так как ее производная $y' = 2x$ положительна для всех $x \in [1, +\infty)$. Следовательно, на этом промежутке существует обратная функция.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ из уравнения $y = x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Так как по условию $x$ принадлежит промежутку $[1, +\infty)$, то есть $x \ge 1$, мы выбираем положительное значение корня: $x = \sqrt{y}$. Затем, поменяв местами переменные $x$ и $y$, получаем аналитическое выражение для обратной функции: $y = \sqrt{x}$.

Область определения исходной функции $D(f) = [1, +\infty)$. Область значений исходной функции на этом промежутке $E(f) = [1^2, +\infty) = [1, +\infty)$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной. Таким образом, для обратной функции $y = \sqrt{x}$:

• Область определения: $D(f^{-1}) = [1, +\infty)$.
• Область значений: $E(f^{-1}) = [1, +\infty)$.

График обратной функции $y = \sqrt{x}$ (красный) симметричен графику исходной функции $y=x^2$ на промежутке $[1, +\infty)$ (синий) относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x}$, её область определения $D(y) = [1, +\infty)$, область значений $E(y) = [1, +\infty)$.

в) на (–1; 5];

На промежутке $(-1, 5]$ функция $y = x^2$ не является монотонной. Она убывает на промежутке $(-1, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, 5]$. Например, $y(-0.5) = 0.25$ и $y(0.5) = 0.25$. Поскольку функция не является взаимно однозначной на данном промежутке, обратной для нее не существует.

Ответ: на промежутке $(-1, 5]$ функция $y=x^2$ обратной не имеет.

г) на (–?; 0].

На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ является строго убывающей, так как ее производная $y' = 2x$ неположительна для всех $x \in (-\infty, 0]$. Следовательно, на этом промежутке существует обратная функция.

Выразим $x$ из уравнения $y = x^2$: $x = \pm\sqrt{y}$. Так как по условию $x \in (-\infty, 0]$, то есть $x \le 0$, мы выбираем отрицательное значение корня: $x = -\sqrt{y}$. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = -\sqrt{x}$.

Область определения исходной функции $D(f) = (-\infty, 0]$. Область значений исходной функции на этом промежутке $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = -\sqrt{x}$:

• Область определения: $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$.
• Область значений: $E(f^{-1}) = (-\infty, 0]$.

График обратной функции $y = -\sqrt{x}$ (красный) симметричен графику исходной функции $y=x^2$ на промежутке $(-\infty, 0]$ (синий) относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = -\sqrt{x}$, её область определения $D(y) = [0, +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty, 0]$.