Номер 10.16, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.16. Может ли функция иметь обратную, если она:

а) чётная;

б) нечётная;

в) периодическая;

г) непериодическая?

Для того чтобы у функции существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы она была инъективной (или взаимно однозначной). Это означает, что для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, значения функции также должны быть различны: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Строго монотонные функции (строго возрастающие или строго убывающие) всегда имеют обратную функцию.

а) чётная;

Чётная функция по определению удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения, которая должна быть симметричной относительно нуля.

Рассмотрим любую чётную функцию, область определения которой содержит хотя бы одно ненулевое число $x_0$. Тогда в её область определения входит и число $-x_0$. При этом $x_0 \neq -x_0$.

Согласно определению чётной функции, $f(x_0) = f(-x_0)$. Мы получили, что двум разным значениям аргумента ($x_0$ и $-x_0$) соответствует одно и то же значение функции. Это означает, что функция не является инъективной.

Например, функция $f(x) = x^2$ является чётной. Для неё $f(2) = 4$ и $f(-2) = 4$. Так как разным аргументам соответствуют одинаковые значения, обратной функции на всей числовой оси у неё нет.

Исключением является только тривиальный случай, когда область определения функции состоит из одного числа — нуля: $D = \{0\}$. В этом случае функция (например, $f(0)=0$) будет одновременно и чётной, и инъективной. Однако в общем случае, для нетривиальных областей определения, чётная функция не может иметь обратную.

Ответ: Нет (за исключением тривиального случая функции, определённой только в точке $x=0$).

б) нечётная;

Нечётная функция по определению удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её симметричной области определения.

Это свойство не мешает функции быть инъективной. Рассмотрим в качестве примера степенную функцию $f(x) = x^3$.

• Эта функция является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
• Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения ($ \mathbb{R} $), а значит, она инъективна. Каждому значению $y$ соответствует единственное значение $x$.

Поскольку функция $f(x) = x^3$ инъективна, она имеет обратную функцию: $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$.

Таким образом, нечётная функция может иметь обратную. Стоит отметить, что не все нечётные функции имеют обратную. Например, $f(x) = x^3 - 4x$ является нечётной, но не инъективной ($f(2)=0, f(-2)=0, f(0)=0$).

Ответ: Да.

в) периодическая;

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Из самого определения следует, что существуют различные значения аргумента ($x$ и $x+T$), в которых функция принимает одинаковые значения. Это прямое нарушение условия инъективности.

Например, для функции $f(x) = \sin(x)$ с периодом $T=2\pi$, имеем $\sin(0) = 0$ и $\sin(2\pi) = 0$. Так как $0 \neq 2\pi$, а значения функции совпадают, она не является инъективной и не имеет обратной на всей области определения.

Следовательно, ни одна не-постоянная периодическая функция не может иметь обратную. Постоянная функция $f(x)=c$ также не имеет обратной, если её область определения содержит более одной точки.

Ответ: Нет.

г) непериодическая?

Непериодическая функция — это функция, которая не является периодической.

Это свойство не накладывает никаких ограничений на инъективность. Более того, любая функция, имеющая обратную на неограниченном или связном множестве, должна быть непериодической, как показано в пункте в).

Приведём примеры непериодических функций, которые имеют обратную:

• $f(x) = ax+b$ (при $a \neq 0$) — линейная функция, непериодическая, строго монотонная, имеет обратную.
• $f(x) = e^x$ — показательная функция, непериодическая, строго возрастающая, имеет обратную $f^{-1}(y) = \ln(y)$.
• $f(x) = x^3$ — степенная функция, непериодическая, строго возрастающая, имеет обратную $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$.

Таким образом, непериодическая функция может иметь обратную.

Ответ: Да.