Номер 10.18, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.18. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на которых данная функция имеет обратную, и несколько, — на которых она не имеет обратной:

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

Для того чтобы функция имела обратную на некотором числовом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы она была на этом промежутке строго монотонной, то есть либо строго возрастала, либо строго убывала. Если на промежутке функция имеет хотя бы один локальный экстремум (точку максимума или минимума), то она не является строго монотонной на этом промежутке, и, следовательно, обратной функции не существует.

а) рис. 38;
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-3, -1] $ и $ [2, 4] $;
- строго убывает на $ [-1, 2] $ и $ [4, 5] $.
На каждом из этих промежутков, а также на любом их подмножестве, функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на любом промежутке, который содержит точку экстремума. Например:
- на промежутке $ [-2, 0] $, так как он содержит точку максимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [1, 3] $, так как он содержит точку минимума при $x=2$;
- на промежутке $ [3, 5] $, так как он содержит точку максимума при $x=4$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-3, -1] $, $ [-1, 2] $, $ [2, 4] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 0] $, $ [1, 3] $, $ [-3, 5] $.

б) рис. 39;
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-2, -1] $ и $ [1, 3] $;
- строго убывает на $ [-1, 1] $.
На каждом из этих промежутков функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на промежутках, где она немонотонна. Например:
- на промежутке $ [-2, 0] $, так как он содержит точку максимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [0, 2] $, так как он содержит точку минимума при $x=1$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-2, -1] $, $ [-1, 1] $, $ [1, 3] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 0] $, $ [0, 2] $, $ [-2, 3] $.

в) рис. 40;
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-3, -1] $ и $ [2, 4] $;
- строго убывает на $ [-1, 2] $.
На каждом из этих промежутков функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на промежутках, где она немонотонна. Например:
- на промежутке $ [-2, 1] $, так как он содержит точку максимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [0, 3] $, так как он содержит точку минимума при $x=2$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-3, -1] $, $ [-1, 2] $, $ [2, 4] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 1] $, $ [0, 3] $, $ [-3, 4] $.

г) рис. 41.
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-1, 1] $ и $ [3, 4] $;
- строго убывает на $ [-3, -1] $ и $ [1, 3] $.
На каждом из этих промежутков функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на промежутках, где она немонотонна. Например:
- на промежутке $ [-2, 0] $, так как он содержит точку минимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [0, 2] $, так как он содержит точку максимума при $x=1$;
- на промежутке $ [2, 4] $, так как он содержит точку минимума при $x=3$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-3, -1] $, $ [-1, 1] $, $ [1, 3] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 0] $, $ [0, 2] $, $ [2, 4] $.