Номер 10.17, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.17. Может ли функция иметь обратную, если она:

а) возрастающая;

б) убывающая;

в) имеет три нуля;

г) не имеет нулей?

а) возрастающая;

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть инъективной (или взаимно однозначной). Это означает, что разным значениям аргумента должны соответствовать разные значения функции. Формально, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Функция называется (строго) возрастающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Из этого определения напрямую следует, что если $x_1 \neq x_2$, то и $f(x_1) \neq f(x_2)$. Таким образом, любая строго возрастающая функция является инъективной, а значит, имеет обратную.

Например, линейная функция $f(x) = 2x + 3$ является возрастающей на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(y) = \frac{y-3}{2}$.

Ответ: да, может.

б) убывающая;

Аналогично предыдущему пункту, необходимым и достаточным условием существования обратной функции является ее инъективность.

Функция называется (строго) убывающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Это свойство также гарантирует инъективность функции: если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$. Следовательно, любая строго убывающая функция имеет обратную.

Например, функция $f(x) = -x$ является убывающей на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(y) = -y$.

Ответ: да, может.

в) имеет три нуля;

Нуль функции — это такое значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

Если функция имеет три нуля, это означает, что существуют три различных значения аргумента $x_1, x_2, x_3$ такие, что $f(x_1) = 0$, $f(x_2) = 0$ и $f(x_3) = 0$.

Поскольку $x_1 \neq x_2$, но $f(x_1) = f(x_2) = 0$, то нарушается условие инъективности. Функция сопоставляет разным аргументам ($x_1$ и $x_2$) одно и то же значение (0).

Следовательно, функция, имеющая более одного нуля, не является инъективной и не может иметь обратную.

Ответ: нет, не может.

г) не имеет нулей?

Если функция не имеет нулей, это означает, что $f(x) \neq 0$ для любого $x$ из области определения. Это свойство никак не противоречит условию инъективности.

Чтобы ответить на вопрос, достаточно привести пример функции, которая не имеет нулей и при этом имеет обратную.

Рассмотрим показательную функцию $f(x) = e^x$. Ее область значений — $(0, +\infty)$, поэтому она никогда не обращается в ноль. При этом функция является строго возрастающей, а значит, инъективной. У нее есть обратная функция — натуральный логарифм $f^{-1}(y) = \ln(y)$.

Другой пример: функция $f(x) = \frac{1}{x}$ (для $x \neq 0$). У нее нет нулей, и она является инъективной, так как из $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$ следует $x_1 = x_2$. Ее обратная функция — она сама: $f^{-1}(y) = \frac{1}{y}$.

Ответ: да, может.