Номер 10.28, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции $y = f(g(x))$, если:

10.28. а) $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$;

б) $f(x) = -x^2$, $g(x) = \sqrt{-x}$;

в) $f(x) = x^2$, $g(x) = -\sqrt{x}$;

г) $f(x) = -x^2$, $g(x) = -\sqrt{-x}$.

а)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$.

Для того чтобы построить график функции $y = f(g(x))$, сначала найдём аналитическое выражение для этой сложной функции. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$.

Далее определим область определения полученной функции. Область определения сложной функции $y = f(g(x))$ совпадает с областью определения внутренней функции $g(x)$.

Область определения функции $g(x) = \sqrt{x}$ задается условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Таким образом, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат (точки $(0,0)$) и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \ge 0$. Он начинается в начале координат и расположен в первой координатной четверти.

б)

Даны функции $f(x) = -x^2$ и $g(x) = \sqrt{-x}$.

Найдём аналитическое выражение для сложной функции $y = f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{-x}) = -(\sqrt{-x})^2 = -(-x) = x$.

Определим область определения. Она совпадает с областью определения функции $g(x) = \sqrt{-x}$. Условие существования корня: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

Следовательно, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \le 0$. Это луч, выходящий из начала координат (точки $(0,0)$) и являющийся биссектрисой третьего координатного угла.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \le 0$. Он начинается в начале координат и расположен в третьей координатной четверти.

в)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = -\sqrt{x}$.

Найдём аналитическое выражение для сложной функции $y = f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(-\sqrt{x}) = (-\sqrt{x})^2 = x$.

Определим область определения. Она совпадает с областью определения функции $g(x) = -\sqrt{x}$. Условие существования корня: $x \ge 0$.

Таким образом, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Этот случай идентичен пункту а). Графиком является луч, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \ge 0$. Он начинается в начале координат и расположен в первой координатной четверти.

г)

Даны функции $f(x) = -x^2$ и $g(x) = -\sqrt{-x}$.

Найдём аналитическое выражение для сложной функции $y = f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(-\sqrt{-x}) = -(-\sqrt{-x})^2 = -(-x) = x$.

Определим область определения. Она совпадает с областью определения функции $g(x) = -\sqrt{-x}$. Условие существования корня: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

Следовательно, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \le 0$. Этот случай идентичен пункту б). Графиком является луч, выходящий из начала координат и расположенный в третьей координатной четверти.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, определённый для $x \le 0$. Он начинается в начале координат и расположен в третьей координатной четверти.