Номер 11.9, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.9. а) $\frac{\pi}{8}$;

б) $-\frac{\pi}{12}$;

в) $\frac{7\pi}{12}$;

г) $-\frac{11\pi}{8}$.

а) $\frac{\pi}{8}$

Для нахождения тригонометрических функций угла $\frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулами половинного угла.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{4}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$. Угол $\frac{\pi}{8}$ (что равно 22.5°) находится в первой четверти, поэтому все его тригонометрические функции положительны.
Нам известны значения для угла $\frac{\pi}{4}$: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Синус:
$\sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$.

2. Косинус:
$\cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

3. Тангенс:
Можно использовать формулу $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$:
$\tan(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$.

4. Котангенс:
$\cot(\frac{\pi}{8}) = \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}-1$, $\cot(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1$.

б) $-\frac{\pi}{12}$

Для нахождения тригонометрических функций угла $-\frac{\pi}{12}$ используем свойства четности/нечетности функций и формулы разности углов.
Угол $-\frac{\pi}{12}$ (-15°) находится в четвертой четверти, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны. Представим $\frac{\pi}{12}$ как разность $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$. Воспользуемся вариантом $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

1. Синус (нечетная функция):
$\sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = -(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}) = -(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = -(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

2. Косинус (четная функция):
$\cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

3. Тангенс (нечетная функция):
$\tan(-\frac{\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sin(\frac{\pi}{12})}{\cos(\frac{\pi}{12})} = -\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = -\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = -\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = -\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.

4. Котангенс (нечетная функция):
$\cot(-\frac{\pi}{12}) = \frac{1}{\tan(-\frac{\pi}{12})} = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = -(\sqrt{3} + 2) = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$, $\cos(-\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$, $\tan(-\frac{\pi}{12})=\sqrt{3}-2$, $\cot(-\frac{\pi}{12})=-2-\sqrt{3}$.

в) $\frac{7\pi}{12}$

Для нахождения тригонометрических функций угла $\frac{7\pi}{12}$ воспользуемся формулами суммы углов.
Представим $\frac{7\pi}{12}$ как сумму $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{7\pi}{12}$ (105°) находится во второй четверти, поэтому синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Синус:
$\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

2. Косинус:
$\cos(\frac{7\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

3. Тангенс:
$\tan(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sin(\frac{7\pi}{12})}{\cos(\frac{7\pi}{12})} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{-(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = -\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = -\frac{6+2\sqrt{12}+2}{6-2} = -\frac{8+4\sqrt{3}}{4} = -(2+\sqrt{3}) = -2-\sqrt{3}$.

4. Котангенс:
$\cot(\frac{7\pi}{12}) = \frac{1}{\tan(\frac{7\pi}{12})} = \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = -\frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = -\frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.

Ответ: $\sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\cos(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$, $\tan(\frac{7\pi}{12})=-2-\sqrt{3}$, $\cot(\frac{7\pi}{12})=\sqrt{3}-2$.

г) $-\frac{11\pi}{8}$

Тригонометрические функции периодичны. Для синуса и косинуса период равен $2\pi$. Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:
$-\frac{11\pi}{8} + 2\pi = -\frac{11\pi}{8} + \frac{16\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$.
Следовательно, значения тригонометрических функций для угла $-\frac{11\pi}{8}$ будут такими же, как для угла $\frac{5\pi}{8}$. Угол $\frac{5\pi}{8}$ (112.5°) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Используем формулы половинного угла для $\frac{\alpha}{2} = \frac{5\pi}{8}$, откуда $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.
Значения для $\frac{5\pi}{4}$: $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Синус (положителен во второй четверти):
$\sin(\frac{5\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{5\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

2. Косинус (отрицателен во второй четверти):
$\cos(\frac{5\pi}{8}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(\frac{5\pi}{4})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$.

3. Тангенс:
$\tan(\frac{5\pi}{8}) = \frac{\sin(\frac{5\pi}{8})}{\cos(\frac{5\pi}{8})} = \frac{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{4 - 2}} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -(\sqrt{2} + 1) = -\sqrt{2} - 1$.

4. Котангенс:
$\cot(\frac{5\pi}{8}) = \frac{1}{\tan(\frac{5\pi}{8})} = \frac{1}{-(\sqrt{2} + 1)} = -\frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = -\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = -(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $\sin(-\frac{11\pi}{8})=\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $\cos(-\frac{11\pi}{8})=-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$, $\tan(-\frac{11\pi}{8})=-\sqrt{2}-1$, $\cot(-\frac{11\pi}{8})=1-\sqrt{2}$.