Номер 11.15, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите на числовой окружности все точки $M(t)$, соответствующие заданной формуле (во всех формулах предполагается, что $n \in \mathbb{Z}$):

11.15. a) $t = 2\pi n$;

б) $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

в) $t = \pi n$;

г) $t = \pm\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а) $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Формула $t = 2\pi n$ задает точки на числовой окружности, которые получаются из начальной точки $M(0)$ путем поворота на целое число полных оборотов. Давайте подставим несколько целых значений для $n$:
- при $n = 0$, $t = 2\pi \cdot 0 = 0$. Это начальная точка на окружности, ее координаты $(1, 0)$.
- при $n = 1$, $t = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$. Сделав один полный оборот против часовой стрелки, мы возвращаемся в ту же точку $M(0)$.
- при $n = -1$, $t = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$. Сделав один полный оборот по часовой стрелке, мы снова оказываемся в точке $M(0)$.
Следовательно, для любого целого $n$ мы всегда будем попадать в одну и ту же точку на числовой окружности.

Ответ: Одна точка, соответствующая числу 0 (или $2\pi k$ для любого целого $k$).

б) $t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эта формула задает точки, полученные из точки $M(\frac{\pi}{2})$ добавлением целого числа полуоборотов ($\pi$). Рассмотрим несколько значений $n$:
- при $n = 0$, $t = \frac{\pi}{2}$. Это "верхняя" точка окружности с координатами $(0, 1)$.
- при $n = 1$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Сделав полуоборот из точки $M(\frac{\pi}{2})$, мы попадаем в "нижнюю" точку окружности с координатами $(0, -1)$.
- при $n = 2$, $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi$. Сделав еще один полуоборот (или полный оборот из начальной), мы возвращаемся в точку $M(\frac{\pi}{2})$.
- при $n = -1$, $t = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{2})$.
Таким образом, при четных значениях $n$ мы получаем точку $M(\frac{\pi}{2})$, а при нечетных — точку $M(\frac{3\pi}{2})$. Всего получается две точки.

Ответ: Две точки, соответствующие числам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

в) $t = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эта формула задает точки, которые отстоят друг от друга на полуоборот ($\pi$).
- при $n = 0$, $t = 0$. Это "правая" точка окружности с координатами $(1, 0)$.
- при $n = 1$, $t = \pi$. Это "левая" точка окружности с координатами $(-1, 0)$.
- при $n = 2$, $t = 2\pi$. Эта точка совпадает с точкой $M(0)$.
- при $n = -1$, $t = -\pi$. Эта точка совпадает с точкой $M(\pi)$.
Таким образом, при четных значениях $n$ мы получаем точку $M(0)$, а при нечетных — точку $M(\pi)$. Всего получается две точки, диаметрально противоположные.

Ответ: Две точки, соответствующие числам 0 и $\pi$.

г) $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эту запись можно рассматривать как объединение двух серий точек:
1) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Слагаемое $2\pi n$ означает целое число полных оборотов. Поэтому при любом целом $n$ эта формула задает одну и ту же точку $M(\frac{\pi}{2})$ ("верхняя" точка).
2) $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Аналогично, слагаемое $2\pi n$ означает целое число полных оборотов. Поэтому при любом целом $n$ эта формула задает одну и ту же точку $M(-\frac{\pi}{2})$, которая совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{2})$ ("нижняя" точка).
В результате мы получаем две точки на числовой окружности.

Ответ: Две точки, соответствующие числам $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).