Номер 11.19, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 11. Числовая окружность - номер 11.19, страница 82.

Условие.

11.19. a) $M$, $N$, $P$, $Q$;

Puc. 44

б) $A$, $M$, $B$, $N$, $C$, $P$, $D$, $Q$.

Puc. 45

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

a) M, N, P, Q;

На рисунке 44 изображена единичная окружность в системе координат. Точка А соответствует углу 0 радиан, точка В — углу $\pi/2$, точка С — углу $\pi$, точка D — углу $3\pi/2$. Точки M, N, P, Q делят каждую четверть пополам.

• Точка М находится в первой четверти и делит дугу АВ пополам. Угол, соответствующий точке М, равен $\frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.

• Точка N находится во второй четверти и симметрична точке М относительно оси Оу. Угол, соответствующий точке N, равен $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

• Точка P находится в третьей четверти и симметрична точке М относительно начала координат. Угол, соответствующий точке P, равен $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

• Точка Q находится в четвертой четверти и симметрична точке М относительно оси Ох. Угол, соответствующий точке Q, равен $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $M(\frac{\pi}{4})$, $N(\frac{3\pi}{4})$, $P(\frac{5\pi}{4})$, $Q(\frac{7\pi}{4})$.

б) A, M, B, N, C, P, D, Q.

На рисунке 45 окружность разделена на 12 равных дуг. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан, следовательно, каждая дуга соответствует углу $\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ радиан. Отсчет углов ведется от точки А (положительное направление оси Ох) против часовой стрелки.

• Точка А является начальной точкой, ей соответствует угол $0$ радиан.

• Точка M отстоит от точки А на одну дугу, поэтому ей соответствует угол $1 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

• Точка B отстоит от точки А на три дуги (и находится на оси Оу), ей соответствует угол $3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

• Точка N отстоит от точки А на две дуги, ей соответствует угол $2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

• Точка C отстоит от точки А на шесть дуг (и находится на оси Ох), ей соответствует угол $6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$.

• Точка P отстоит от точки А на четыре дуги, ей соответствует угол $4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

• Точка D отстоит от точки А на девять дуг (и находится на оси Оу), ей соответствует угол $9 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

• Точка Q отстоит от точки А на пять дуг, ей соответствует угол $5 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $A(0)$, $M(\frac{\pi}{6})$, $B(\frac{\pi}{2})$, $N(\frac{\pi}{3})$, $C(\pi)$, $P(\frac{2\pi}{3})$, $D(\frac{3\pi}{2})$, $Q(\frac{5\pi}{6})$.