Номер 11.26, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.26. а) $EN$;

б) $QM$;

в) $KA$;

г) $KF$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $DC$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $DD_1$.

Исходя из условия, что в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AD=8$, $AB=9$ (и, следовательно, $DC=9$) и $AA_1=12$ (и, следовательно, $DD_1=12$), определим координаты его вершин:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(8, 0, 0)$
• $C(0, 9, 0)$
• $B(8, 9, 0)$
• $D_1(0, 0, 12)$
• $A_1(8, 0, 12)$
• $C_1(0, 9, 12)$
• $B_1(8, 9, 12)$

Теперь найдем координаты заданных точек E, F, K, N, M, Q:

• Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Имея координаты $C(0, 9, 0)$ и $C_1(0, 9, 12)$, находим:
  $K = (\frac{0+0}{2}; \frac{9+9}{2}; \frac{0+12}{2}) = (0, 9, 6)$.
• Точка $E$ лежит на ребре $B_1C_1$ так, что $B_1E:EC_1 = 1:3$. Используя координаты $B_1(8, 9, 12)$ и $C_1(0, 9, 12)$ и формулу деления отрезка в данном отношении, получаем:
  $E = (\frac{3 \cdot 8 + 1 \cdot 0}{1+3}; \frac{3 \cdot 9 + 1 \cdot 9}{1+3}; \frac{3 \cdot 12 + 1 \cdot 12}{1+3}) = (\frac{24}{4}; \frac{36}{4}; \frac{48}{4}) = (6, 9, 12)$.
• Точка $F$ лежит на ребре $C_1D_1$ так, что $C_1F:FD_1 = 3:1$. Используя координаты $C_1(0, 9, 12)$ и $D_1(0, 0, 12)$, получаем:
  $F = (\frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3+1}; \frac{1 \cdot 9 + 3 \cdot 0}{3+1}; \frac{1 \cdot 12 + 3 \cdot 12}{3+1}) = (\frac{0}{4}; \frac{9}{4}; \frac{48}{4}) = (0, \frac{9}{4}, 12)$.
• Точка $N$ — середина отрезка $EF$. Используя координаты $E(6, 9, 12)$ и $F(0, \frac{9}{4}, 12)$, получаем:
  $N = (\frac{6+0}{2}; \frac{9+\frac{9}{4}}{2}; \frac{12+12}{2}) = (3, \frac{\frac{45}{4}}{2}, 12) = (3, \frac{45}{8}, 12)$.
• Точки $M$ и $Q$ лежат на отрезке $A_1K$. Координаты $A_1(8, 0, 12)$ и $K(0, 9, 6)$.
  Для точки $M$ ($A_1M:MK = 1:2$):
  $M = (\frac{2 \cdot 8 + 1 \cdot 0}{1+2}; \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 9}{1+2}; \frac{2 \cdot 12 + 1 \cdot 6}{1+2}) = (\frac{16}{3}, \frac{9}{3}, \frac{30}{3}) = (\frac{16}{3}, 3, 10)$.
  Для точки $Q$ ($A_1Q:QK = 2:1$):
  $Q = (\frac{1 \cdot 8 + 2 \cdot 0}{2+1}; \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{2+1}; \frac{1 \cdot 12 + 2 \cdot 6}{2+1}) = (\frac{8}{3}, \frac{18}{3}, \frac{24}{3}) = (\frac{8}{3}, 6, 8)$.

Вычислим длины искомых отрезков по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

а) EN

Найдем расстояние между точками $E(6, 9, 12)$ и $N(3, \frac{45}{8}, 12)$.

$EN = \sqrt{(3-6)^2 + (\frac{45}{8}-9)^2 + (12-12)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (\frac{45-72}{8})^2 + 0^2}$

$EN = \sqrt{9 + (-\frac{27}{8})^2} = \sqrt{9 + \frac{729}{64}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 64 + 729}{64}} = \sqrt{\frac{576 + 729}{64}} = \sqrt{\frac{1305}{64}} = \frac{\sqrt{1305}}{8}$.

Ответ: $EN = \frac{\sqrt{1305}}{8}$.

б) QM

Найдем расстояние между точками $Q(\frac{8}{3}, 6, 8)$ и $M(\frac{16}{3}, 3, 10)$.

$QM = \sqrt{(\frac{16}{3}-\frac{8}{3})^2 + (3-6)^2 + (10-8)^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (-3)^2 + 2^2}$

$QM = \sqrt{\frac{64}{9} + 9 + 4} = \sqrt{\frac{64}{9} + 13} = \sqrt{\frac{64 + 117}{9}} = \sqrt{\frac{181}{9}} = \frac{\sqrt{181}}{3}$.

Ответ: $QM = \frac{\sqrt{181}}{3}$.

в) KA

Найдем расстояние между точками $K(0, 9, 6)$ и $A(8, 0, 0)$.

$KA = \sqrt{(8-0)^2 + (0-9)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{8^2 + (-9)^2 + (-6)^2}$

$KA = \sqrt{64 + 81 + 36} = \sqrt{181}$.

Ответ: $KA = \sqrt{181}$.

г) KF

Найдем расстояние между точками $K(0, 9, 6)$ и $F(0, \frac{9}{4}, 12)$.

$KF = \sqrt{(0-0)^2 + (\frac{9}{4}-9)^2 + (12-6)^2} = \sqrt{0^2 + (\frac{9-36}{4})^2 + 6^2}$

$KF = \sqrt{(-\frac{27}{4})^2 + 36} = \sqrt{\frac{729}{16} + 36} = \sqrt{\frac{729 + 36 \cdot 16}{16}} = \sqrt{\frac{729 + 576}{16}} = \sqrt{\frac{1305}{16}} = \frac{\sqrt{1305}}{4}$.

Ответ: $KF = \frac{\sqrt{1305}}{4}$.