Номер 11.29, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки:

11.29. a) $t = 2\pi n$, $t = \pi + 2\pi n$;

б) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

в) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

г) $t = \pi n$, $t = \frac{\pi n}{2}$.

а)

Первая формула $t = 2\pi n$, где $n$ — целое число, задает на числовой окружности одну точку, соответствующую углу 0 радиан. При любых целых $n$, значения $2\pi n$ (например, $0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots$) на окружности отображаются в одну и ту же точку с координатами $(1, 0)$.

Вторая формула $t = \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число, также задает одну точку, соответствующую углу $\pi$ радиан. Значения $\pi, 3\pi, -\pi, \dots$ на окружности отображаются в одну и ту же точку с координатами $(-1, 0)$.

Вместе эти две формулы задают две диаметрально противоположные точки на оси абсцисс. Эти точки можно описать одной общей формулой, взяв за основу точку $t=0$ и прибавляя к ней углы, кратные $\pi$. Общая формула имеет вид $t = \pi k$. Если $k$ — четное ($k=2n$), получаем $t = 2\pi n$. Если $k$ — нечетное ($k=2n+1$), получаем $t = \pi(2n+1) = \pi + 2\pi n$.

Ответ: $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Первая формула $t = \pi n$, где $n$ — целое число, задает две точки на окружности: точку $M(0)$ с координатами $(1,0)$ (при четных $n$) и точку $M(\pi)$ с координатами $(-1,0)$ (при нечетных $n$).

Вторая формула $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число, также задает две точки: точку $M(\frac{\pi}{2})$ с координатами $(0,1)$ (при четных $n$) и точку $M(\frac{3\pi}{2})$ с координатами $(0,-1)$ (при нечетных $n$).

В совокупности эти две формулы задают четыре точки, которые являются точками пересечения окружности с осями координат: $M(0)$, $M(\frac{\pi}{2})$, $M(\pi)$ и $M(\frac{3\pi}{2})$. Эти точки делят окружность на четыре равные дуги. Расстояние между соседними точками составляет $\frac{\pi}{2}$. Их можно описать одной общей формулой, начав с $t=0$ и прибавляя углы, кратные $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $t = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Первая формула $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, задает на числовой окружности одну точку $M(\frac{\pi}{2})$ с координатами $(0, 1)$.

Вторая формула $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, задает на числовой окружности одну точку $M(\frac{3\pi}{2})$ с координатами $(0, -1)$.

Вместе мы получаем две диаметрально противоположные точки на оси ординат. Расстояние между ними по дуге составляет $\pi$. Общая формула для этих двух точек может быть получена, если взять начальную точку $t=\frac{\pi}{2}$ и прибавлять к ней углы, кратные $\pi$. Формула $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$ при четных $k=2n$ дает $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, а при нечетных $k=2n+1$ дает $t = \frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Первая формула $t = \pi n$, где $n$ — целое число, задает две точки: $M(0)$ и $M(\pi)$.

Вторая формула $t = \frac{\pi n}{2}$, где $n$ — целое число, задает четыре точки: $M(0)$, $M(\frac{\pi}{2})$, $M(\pi)$ и $M(\frac{3\pi}{2})$.

Объединение множеств точек, заданных этими двумя формулами, включает в себя все точки из обоих множеств. Множество точек из первой формулы {$M(0), M(\pi)$} полностью содержится во множестве точек из второй формулы {$M(0), M(\frac{\pi}{2}), M(\pi), M(\frac{3\pi}{2})$}. Следовательно, совокупность всех точек описывается второй, более общей формулой.

Ответ: $t = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.