Номер 11.34, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.34. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(t), заданные формулой и принадлежащие отрезку $[-\\pi; 2\\pi]$:

а) $t = n$;

б) $t = \frac{1}{2} + 2n$;

в) $t = 2n + 1$;

г) $t = \frac{1}{3} + \frac{3n}{2}$.

В данной задаче мы ищем значения $t$, которые удовлетворяют заданной формуле для целых чисел $n$ (т.е. $n \in \mathbb{Z}$) и попадают в отрезок $[-\pi; 2\pi]$. Для этого мы решаем двойное неравенство $-\pi \le t \le 2\pi$ для каждой формулы. При расчетах будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Нам нужно найти все целые числа $n$, для которых выполняется неравенство:
$-\pi \le n \le 2\pi$
Подставим приближенные значения:
$-3.14 \le n \le 6.28$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Таким образом, мы получаем 10 значений для $t$.
На числовой прямой это точки с координатами -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Все они лежат внутри отрезка $[-\pi; 2\pi]$.
На числовой окружности это 10 различных точек, соответствующих углам в -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан. Никакие две точки не совпадают, так как разность между любыми двумя значениями не кратна $2\pi$.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ищем целые числа $n$, для которых выполняется неравенство:
$-\pi \le \frac{1}{2} + 2n \le 2\pi$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:
$-\pi - \frac{1}{2} \le 2n \le 2\pi - \frac{1}{2}$
Разделим все части на 2:
$\frac{-\pi - 0.5}{2} \le n \le \frac{2\pi - 0.5}{2}$
Подставим приближенные значения:
$\frac{-3.14 - 0.5}{2} \le n \le \frac{2 \cdot 3.14 - 0.5}{2}$
$\frac{-3.64}{2} \le n \le \frac{5.78}{2}$
$-1.82 \le n \le 2.89$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -1, 0, 1, 2.
Найдем соответствующие значения $t$:
При $n=-1: t = \frac{1}{2} + 2(-1) = -1.5$
При $n=0: t = \frac{1}{2} + 2(0) = 0.5$
При $n=1: t = \frac{1}{2} + 2(1) = 2.5$
При $n=2: t = \frac{1}{2} + 2(2) = 4.5$
На числовой прямой это точки с координатами -1.5, 0.5, 2.5, 4.5.
На числовой окружности это 4 различные точки, соответствующие углам в -1.5, 0.5, 2.5 и 4.5 радиан.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-1.5; 0.5; 2.5; 4.5\}$.

Формула $t=2n+1$ задает все нечетные целые числа. Ищем те из них, которые лежат в отрезке $[-\pi; 2\pi]$.
$-\pi \le 2n + 1 \le 2\pi$
Вычтем 1 из всех частей:
$-\pi - 1 \le 2n \le 2\pi - 1$
Разделим все части на 2:
$\frac{-\pi - 1}{2} \le n \le \frac{2\pi - 1}{2}$
Подставим приближенные значения:
$\frac{-3.14 - 1}{2} \le n \le \frac{2 \cdot 3.14 - 1}{2}$
$\frac{-4.14}{2} \le n \le \frac{5.28}{2}$
$-2.07 \le n \le 2.64$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -2, -1, 0, 1, 2.
Найдем соответствующие значения $t$:
При $n=-2: t = 2(-2) + 1 = -3$
При $n=-1: t = 2(-1) + 1 = -1$
При $n=0: t = 2(0) + 1 = 1$
При $n=1: t = 2(1) + 1 = 3$
При $n=2: t = 2(2) + 1 = 5$
На числовой прямой это точки с координатами -3, -1, 1, 3, 5.
На числовой окружности это 5 различных точек, соответствующие углам в -3, -1, 1, 3 и 5 радиан.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-3, -1, 1, 3, 5\}$.

Ищем целые числа $n$, для которых выполняется неравенство:
$-\pi \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{2} \le 2\pi$
Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей:
$-\pi - \frac{1}{3} \le \frac{3n}{2} \le 2\pi - \frac{1}{3}$
Умножим все части на $\frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3}(-\pi - \frac{1}{3}) \le n \le \frac{2}{3}(2\pi - \frac{1}{3})$
Подставим приближенные значения:
$\frac{2}{3}(-3.14 - 0.33) \le n \le \frac{2}{3}(2 \cdot 3.14 - 0.33)$
$\frac{2}{3}(-3.47) \le n \le \frac{2}{3}(5.95)$
$-2.31 \le n \le 3.97$
Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию: -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Найдем соответствующие значения $t$:
При $n=-2: t = \frac{1}{3} + \frac{3(-2)}{2} = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}$
При $n=-1: t = \frac{1}{3} + \frac{3(-1)}{2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{2-9}{6} = -\frac{7}{6}$
При $n=0: t = \frac{1}{3} + \frac{3(0)}{2} = \frac{1}{3}$
При $n=1: t = \frac{1}{3} + \frac{3(1)}{2} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2+9}{6} = \frac{11}{6}$
При $n=2: t = \frac{1}{3} + \frac{3(2)}{2} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$
При $n=3: t = \frac{1}{3} + \frac{3(3)}{2} = \frac{1}{3} + \frac{9}{2} = \frac{2+27}{6} = \frac{29}{6}$
На числовой прямой это точки с координатами $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, $-\frac{7}{6} \approx -1.17$, $\frac{1}{3} \approx 0.33$, $\frac{11}{6} \approx 1.83$, $\frac{10}{3} \approx 3.33$, $\frac{29}{6} \approx 4.83$.
На числовой окружности это 6 различных точек, соответствующие этим значениям $t$.

Ответ: На числовой прямой и числовой окружности отмечены точки, соответствующие значениям $t \in \{-\frac{8}{3}, -\frac{7}{6}, \frac{1}{3}, \frac{11}{6}, \frac{10}{3}, \frac{29}{6}\}$.