Номер 12.5, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.5. Каким числам из заданного отрезка соответствует точка $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ числовой окружности:

а) $[-4\pi; \pi];$

б) $\left[-\frac{3\pi}{2} ; \frac{7\pi}{2}\right];$

в) $[0; 5\pi];$

г) $\left[\frac{\pi}{2} ; \frac{9\pi}{2}\right]?$

Точка $M(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ на числовой окружности соответствует таким углам $t$, для которых $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Этим условиям соответствует угол $t = \frac{3\pi}{4}$, который находится во второй координатной четверти. Так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$, то все числа, которым соответствует точка M, можно найти по общей формуле: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Для каждого заданного отрезка мы найдем все значения $t$, попадающие в этот отрезок, путем подбора целых значений $k$.

а) Найдем числа на отрезке $[-4\pi; \pi]$.

Решим двойное неравенство относительно $k$:

$-4\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-4 \le \frac{3}{4} + 2k \le 1$

Вычтем $\frac{3}{4}$ из всех частей:

$-4 - \frac{3}{4} \le 2k \le 1 - \frac{3}{4}$

$-\frac{19}{4} \le 2k \le \frac{1}{4}$

Разделим все части на 2:

$-\frac{19}{8} \le k \le \frac{1}{8}$

$-2,375 \le k \le 0,125$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -2, -1, 0$.

Найдем соответствующие значения $t$ для каждого $k$:

При $k=-2$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(-2) = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = \frac{3\pi - 16\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4}$.

При $k=-1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(0) = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{13\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

б) Найдем числа на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{7\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$-\frac{3}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{7}{2}$

Вычтем $\frac{3}{4}$:

$-\frac{6}{4} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{14}{4} - \frac{3}{4}$

$-\frac{9}{4} \le 2k \le \frac{11}{4}$

Разделим на 2:

$-\frac{9}{8} \le k \le \frac{11}{8}$

$-1,125 \le k \le 1,375$

Целые значения $k$: $k = -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=-1$: $t = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi+8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

в) Найдем числа на отрезке $[0; 5\pi]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 5\pi$

Разделим на $\pi$:

$0 \le \frac{3}{4} + 2k \le 5$

Вычтем $\frac{3}{4}$:

$-\frac{3}{4} \le 2k \le 5 - \frac{3}{4}$

$-\frac{3}{4} \le 2k \le \frac{17}{4}$

Разделим на 2:

$-\frac{3}{8} \le k \le \frac{17}{8}$

$-0,375 \le k \le 2,125$

Целые значения $k$: $k = 0, 1, 2$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

При $k=2$: $t = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{3\pi+16\pi}{4} = \frac{19\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{19\pi}{4}$.

г) Найдем числа на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$\frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{9\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$\frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{9}{2}$

Вычтем $\frac{3}{4}$:

$\frac{2}{4} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{18}{4} - \frac{3}{4}$

$-\frac{1}{4} \le 2k \le \frac{15}{4}$

Разделим на 2:

$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$

$-0,125 \le k \le 1,875$

Целые значения $k$: $k = 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.