Номер 12.11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.11. Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности:

а) $F(2,8)$;

б) $L(-4,2)$;

в) $K(-0,5)$;

г) $M(4,5)$?

Чтобы определить, что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты, нужно сравнить $|\cos(t)|$ и $|\sin(t)|$ для заданного числа $t$. Точка на числовой окружности, соответствующая числу $t$, имеет координаты $(x; y) = (\cos(t); \sin(t))$.

Сравнение модулей зависит от того, в какой части числовой окружности находится точка. Если точка расположена ближе к оси абсцисс (Ox), то $|\cos(t)| > |\sin(t)|$. Если точка ближе к оси ординат (Oy), то $|\sin(t)| > |\cos(t)|$. Границами между этими областями являются прямые $y=x$ и $y=-x$, которым соответствуют точки $t = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Для вычислений воспользуемся приближенными значениями: $\pi \approx 3,14$; $\frac{\pi}{4} \approx 0,785$; $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\frac{3\pi}{4} \approx 2,356$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{5\pi}{4} \approx 3,927$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,712$.

а) F(2,8)

Для точки $F$ имеем $t=2,8$. Определим ее положение на числовой окружности. Сравним $t=2,8$ с граничными значениями. Так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2,356$ и $\pi \approx 3,14$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{4} < 2,8 < \pi$. Это означает, что точка $F(2,8)$ находится во второй четверти, в области, где точки ближе к оси абсцисс. Следовательно, модуль абсциссы больше модуля ординаты: $|\cos(2,8)| > |\sin(2,8)|$.
Ответ: модуль абсциссы больше модуля ординаты.

б) L(-4,2)

Для точки $L$ имеем $t=-4,2$. Определим ее положение. Двигаясь в отрицательном направлении по окружности, сравним $t=-4,2$ с граничными значениями. Мы знаем, что $-\frac{5\pi}{4} \approx -3,927$ и $-\frac{3\pi}{2} \approx -4,712$. Выполняется неравенство $-\frac{3\pi}{2} < -4,2 < -\frac{5\pi}{4}$. Это означает, что точка $L(-4,2)$ находится во второй четверти, но в области, где точки ближе к оси ординат. Следовательно, модуль ординаты больше модуля абсциссы: $|\sin(-4,2)| > |\cos(-4,2)|$.
Ответ: модуль ординаты больше модуля абсциссы.

в) K(-0,5)

Для точки $K$ имеем $t=-0,5$. Определим ее положение. Мы знаем, что $-\frac{\pi}{4} \approx -0,785$. Выполняется неравенство $-\frac{\pi}{4} < -0,5 < 0$. Это означает, что точка $K(-0,5)$ находится в четвертой четверти, в области, где точки ближе к оси абсцисс. Следовательно, модуль абсциссы больше модуля ординаты: $|\cos(-0,5)| > |\sin(-0,5)|$.
Ответ: модуль абсциссы больше модуля ординаты.

г) M(4,5)

Для точки $M$ имеем $t=4,5$. Определим ее положение. Мы знаем, что $\frac{5\pi}{4} \approx 3,927$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,712$. Выполняется неравенство $\frac{5\pi}{4} < 4,5 < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что точка $M(4,5)$ находится в третьей четверти, в области, где точки ближе к оси ординат. Следовательно, модуль ординаты больше модуля абсциссы: $|\sin(4,5)| > |\cos(4,5)|$.
Ответ: модуль ординаты больше модуля абсциссы.