Номер 12.16, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.16. a) $y = 0$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $y = 1$.

а) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=0$. Предполагая, что $y = \cos(x)$, решаем уравнение $\cos(x) = 0$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю в точках на единичной окружности с абсциссой 0, что соответствует углам $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$. Эти решения повторяются с периодом $2\pi$. Серии решений $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ можно объединить в одну общую формулу, так как расстояние между точками на окружности составляет $\pi$.
Таким образом, общее решение уравнения $\cos(x) = 0$ имеет вид:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=\frac{1}{2}$. Решаем уравнение $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Общее решение уравнения вида $\cos(x) = a$, где $|a| \le 1$, записывается по формуле:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса этого числа является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решаем уравнение $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $\cos(x) = a$:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Требуется найти все значения $x$, для которых $y=1$. Решаем уравнение $\cos(x) = 1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Косинус равен единице в точках на единичной окружности, соответствующих углу $0$ радиан. Эта точка повторяется через каждый полный оборот, то есть с периодом $2\pi$.
Таким образом, общее решение уравнения $\cos(x) = 1$ имеет вид:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Этот результат также можно получить из общей формулы: $x = \pm \arccos(1) + 2\pi n = \pm 0 + 2\pi n = 2\pi n$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.