Номер 12.14, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки:

12.14. a) $x = 0$;

б) $x = \frac{1}{2}$;

в) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $x = 1$.

а) Условию $x=0$ на числовой окружности соответствуют точки, у которых абсцисса (координата $x$) равна нулю. Это точки пересечения окружности с осью ординат (осью $y$). Таких точек две: одна в верхней полуплоскости с координатами $(0, 1)$ и одна в нижней с координатами $(0, -1)$.

Точке $(0, 1)$ соответствуют углы (числа) вида $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Точке $(0, -1)$ соответствуют углы вида $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу, так как точки диаметрально противоположны и расстояние между ними по окружности равно $\pi$. Если взять в качестве начальной точки $t = \frac{\pi}{2}$, то следующая точка будет через пол-оборота, то есть через $\pi$. Таким образом, общая формула имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Условию $x=\frac{1}{2}$ соответствуют точки на числовой окружности, у которых абсцисса равна $\frac{1}{2}$. Это означает, что мы ищем все числа $t$, для которых $\cos(t) = \frac{1}{2}$.

На единичной окружности есть две такие точки. Одна находится в первой четверти, ей соответствует основной угол $t = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Вторая точка симметрична первой относительно оси абсцисс и находится в четвертой четверти; ей соответствует угол $t = -\frac{\pi}{3}$.

Чтобы описать все числа, соответствующие этим точкам, нужно учесть периодичность. Формулы для всех таких чисел имеют вид: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну запись.

Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Условию $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на числовой окружности с абсциссой $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем все числа $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

На единичной окружности есть две такие точки. Одна находится во второй четверти, ей соответствует основной угол $t = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$. Вторая точка симметрична первой относительно оси абсцисс и находится в третьей четверти; ей соответствует угол $t = -\frac{5\pi}{6}$.

Учитывая периодичность, получаем две серии решений: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $t = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Условию $x=1$ на числовой окружности соответствует одна точка, у которой абсцисса равна единице. Это самая правая точка окружности, точка пересечения с положительным направлением оси абсцисс. Ее координаты $(1, 0)$.

Этой точке соответствует угол $t = 0$ радиан.

Так как полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан, то все числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к нулю целое число полных оборотов. Формула для всех таких чисел имеет вид: $t = 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.