Номер 12.17, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.17. a) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y = -1$.

Поскольку в задании не указана конкретная тригонометрическая функция, будем предполагать, что требуется решить уравнение вида $sin(x) = y$ для каждого из заданных значений $y$. Общая формула для решения уравнения $sin(x) = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Арксинус этого значения является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу для корней уравнения:

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эту совокупность решений можно также представить в виде двух серий:

$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арксинус этого значения является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, находим:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -1$

Решаем уравнение $sin(x) = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен $-1$ в точках вида $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Можно также использовать общую формулу. Арксинус этого значения: $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Подставляем в общую формулу: $x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{2}) + \pi n$.

Рассмотрим два случая для $n$:

1. Если $n$ - четное, $n = 2k$: $x = (-1)^{2k} \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $n$ - нечетное, $n = 2k+1$: $x = (-1)^{2k+1} \cdot (-\frac{\pi}{2}) + \pi(2k+1) = -1 \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k + \pi = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Заметим, что точки $\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ на тригонометрической окружности совпадают ($\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$). Таким образом, обе серии решений можно объединить в одну.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.