Номер 12.13, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.13. Как связаны между собой ординаты точек числовой окружности:

a) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + \pi$;

в) $t$ и $\pi - t$;

г) $t$ и $2\pi - t$?

Ордината точки на числовой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, — это значение синуса этого числа, то есть $\sin(t)$. Задача состоит в том, чтобы сравнить значения $\sin(t)$ со значениями синуса для каждого из предложенных случаев.

а) $t$ и $-t$

Сравним ординату точки $t$, которая равна $\sin(t)$, с ординатой точки $-t$, которая равна $\sin(-t)$. Функция синуса является нечетной, что означает, что для любого $t$ выполняется свойство:

$ \sin(-t) = -\sin(t) $

Это значит, что ординаты точек $t$ и $-t$ на числовой окружности являются противоположными по знаку числами. Геометрически точки $M(t)$ и $M(-t)$ симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Ординаты точек $t$ и $-t$ противоположны: $ \sin(-t) = -\sin(t) $.

б) $t$ и $t + \pi$

Сравним ординату точки $t$, равную $\sin(t)$, с ординатой точки $t + \pi$, равной $\sin(t + \pi)$. Используя формулы приведения (или формулу сложения углов), получаем:

$ \sin(t + \pi) = -\sin(t) $

Это можно показать так: $ \sin(t + \pi) = \sin(t)\cos(\pi) + \cos(t)\sin(\pi) = \sin(t) \cdot (-1) + \cos(t) \cdot 0 = -\sin(t) $. Следовательно, ординаты этих точек также противоположны. Геометрически точки $M(t)$ и $M(t + \pi)$ являются диаметрально противоположными, то есть симметричными относительно начала координат.

Ответ: Ординаты точек $t$ и $t + \pi$ противоположны: $ \sin(t + \pi) = -\sin(t) $.

в) $t$ и $\pi - t$

Сравним ординату точки $t$, равную $\sin(t)$, с ординатой точки $\pi - t$, равной $\sin(\pi - t)$. Согласно формулам приведения:

$ \sin(\pi - t) = \sin(t) $

Доказательство через формулу разности углов: $ \sin(\pi - t) = \sin(\pi)\cos(t) - \cos(\pi)\sin(t) = 0 \cdot \cos(t) - (-1) \cdot \sin(t) = \sin(t) $. Таким образом, ординаты этих точек равны. Геометрически точки $M(t)$ и $M(\pi - t)$ симметричны относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: Ординаты точек $t$ и $\pi - t$ равны: $ \sin(\pi - t) = \sin(t) $.

г) $t$ и $2\pi - t$

Сравним ординату точки $t$, равную $\sin(t)$, с ординатой точки $2\pi - t$, равной $\sin(2\pi - t)$. Функция синуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому $ \sin(x) = \sin(x - 2\pi) $.

$ \sin(2\pi - t) = \sin(2\pi - t - 2\pi) = \sin(-t) $

Как было установлено в пункте а), $ \sin(-t) = -\sin(t) $. Следовательно, ординаты этих точек противоположны. Геометрически точка, соответствующая $2\pi - t$, совпадает с точкой, соответствующей $-t$, так как добавление или вычитание полного оборота ($2\pi$) не меняет положения точки на окружности.

Ответ: Ординаты точек $t$ и $2\pi - t$ противоположны: $ \sin(2\pi - t) = -\sin(t) $.