Номер 12.15, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.15. a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $x = -1.$

а) Поскольку в условии не указано, какую именно тригонометрическую функцию от $x$ нужно найти, будем исходить из наиболее распространенного предположения для такого типа задач: найти все углы $t$, для которых $\cos(t) = x$. Для $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ необходимо решить уравнение:

$\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ (где $|a| \le 1$) находится по формуле:

$t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Находим главное значение угла (арккосинус):

$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

Подставляем это значение в общую формулу и получаем все решения:

$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем уравнение $\cos(t) = x$ для $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем общую формулу для решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Находим главное значение для $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$

Следовательно, общее решение имеет вид:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $\cos(t) = x$ для $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применяем ту же общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Находим главное значение для $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$

Подставляя в формулу, получаем общее решение:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $\cos(t) = x$ для $x = -1$:

$\cos(t) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Значение косинуса равно $-1$ в точках вида $t = \pi$ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции косинуса, которая равна $2\pi$, все решения можно записать формулой:

$t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Этот же результат можно получить и из общей формулы: $t = \pm \arccos(-1) + 2\pi k$. Поскольку $\arccos(-1) = \pi$, то $t = \pm \pi + 2\pi k$. Заметим, что серии решений $t = \pi + 2\pi k$ и $t = -\pi + 2\pi k$ описывают одно и то же множество точек, поэтому их можно объединить в одну более простую запись.

Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.