Номер 12.10, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

•12.10. Что больше, абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности:

а) $E(1)$;

б) $K(-2.5)$;

в) $P(7)$;

г) $M(-4)?$

Для решения задачи необходимо сравнить абсциссу $x = \cos(t)$ и ординату $y = \sin(t)$ точки, заданной на числовой окружности. Сравнение можно провести, определив, в какой части окружности находится точка относительно прямой $y=x$, которая соответствует углам $t = \pi/4 + k\pi$ (где $k$ - целое число).

Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

а) E(1)
Необходимо сравнить абсциссу $x = \cos(1)$ и ординату $y = \sin(1)$.
Число $t=1$ (радиан) находится в интервале $0 < 1 < \pi/2 \approx 1,57$. Следовательно, точка E(1) лежит в первой координатной четверти, где и синус, и косинус положительны.
Сравним $t=1$ со значением $\pi/4 \approx 3,14 / 4 \approx 0,785$.
Поскольку $1 > \pi/4$, точка E(1) на числовой окружности находится выше прямой $y=x$. Это означает, что ее ордината больше абсциссы.
Таким образом, $\sin(1) > \cos(1)$.
Ответ: ордината больше абсциссы.

б) K(-2,5)
Сравниваем абсциссу $x = \cos(-2,5)$ и ординату $y = \sin(-2,5)$.
Определим положение точки на окружности. Используем приближения: $-\pi \approx -3,14$ и $-\pi/2 \approx -1,57$.
Так как $-\pi < -2,5 < -\pi/2$, точка K(-2,5) находится в третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны.
Сравним положение точки относительно прямой $y=x$. В третьей четверти эта прямая соответствует углу $t = 5\pi/4$ или $t = -3\pi/4 \approx -2,356$.
Поскольку $-2,5 < -3\pi/4$, точка K(-2,5) лежит на дуге между $-\pi$ и $-3\pi/4$. На этой дуге значение синуса (ордината) больше значения косинуса (абсцисса), так как синус "ближе" к нулю.
Следовательно, $\sin(-2,5) > \cos(-2,5)$.
Ответ: ордината больше абсциссы.

в) P(7)
Сравниваем абсциссу $x = \cos(7)$ и ординату $y = \sin(7)$.
Полный оборот по числовой окружности составляет $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$.
Найдем положение точки, вычтя полный оборот: $t = 7 - 2\pi \approx 7 - 6,28 = 0,72$.
Этот угол находится в первой четверти ($0 < 0,72 < \pi/2 \approx 1,57$), где синус и косинус положительны.
Сравним $t \approx 0,72$ со значением $\pi/4 \approx 0,785$.
Поскольку $0,72 < \pi/4$, точка P(7) на числовой окружности находится ниже прямой $y=x$. Это означает, что ее абсцисса больше ординаты.
Таким образом, $\cos(7) > \sin(7)$.
Ответ: абсцисса больше ординаты.

г) M(-4)
Сравниваем абсциссу $x = \cos(-4)$ и ординату $y = \sin(-4)$.
Определим положение точки на окружности. Используем приближения: $-\pi \approx -3,14$ и $-3\pi/2 \approx -4,71$.
Так как $-3\pi/2 < -4 < -\pi$, точка M(-4) находится во второй координатной четверти.
Во второй четверти абсцисса (косинус) отрицательна, а ордината (синус) положительна. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $\sin(-4) > \cos(-4)$.
Ответ: ордината больше абсциссы.