Номер 12.4, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Координаты точки $M(x; y)$ на числовой окружности связаны с числом $t$ соотношениями $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. В данном случае нам нужно найти число $t$, для которого $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

Этим условиям соответствует точка в первой координатной четверти. Основное значение угла (числа) для этих значений тригонометрических функций равно $t_0 = \frac{\pi}{6}$. Множество всех чисел, которым на окружности соответствует данная точка, задается формулой $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Чтобы найти наименьшее положительное число, мы ищем наименьшее значение $t > 0$. Подставляя различные целые значения $k$, находим: при $k=0$, $t = \frac{\pi}{6}$. Это положительное число. При $k>0$ значения $t$ будут больше, а при $k<0$ — отрицательными. Следовательно, наименьшее положительное число равно $\frac{\pi}{6}$.

Чтобы найти наибольшее отрицательное число, мы ищем наибольшее значение $t < 0$. При $k=-1$ получаем $t = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$. Это отрицательное число. При $k=-2$ значение $t$ будет еще меньше (более отрицательным). Значит, наибольшее отрицательное число равно $-\frac{11\pi}{6}$.

Ответ: наименьшее положительное число: $\frac{\pi}{6}$, наибольшее отрицательное число: $-\frac{11\pi}{6}$.

Для точки $M(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ мы ищем число $t$, для которого $\cos(t) = \frac{1}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Положительное значение косинуса и отрицательное значение синуса указывают на то, что точка находится в четвертой координатной четверти. Основное значение угла, принадлежащее промежутку $(-\pi, \pi]$, равно $t_0 = -\frac{\pi}{3}$. Множество всех чисел, соответствующих данной точке, задается формулой $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти наименьшее положительное число ($t>0$), подставим $k=1$: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{-\pi + 6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$. При $k=0$ число отрицательное, а при $k > 1$ числа будут еще больше. Таким образом, наименьшее положительное число равно $\frac{5\pi}{3}$.

Чтобы найти наибольшее отрицательное число ($t<0$), подставим $k=0$: $t = -\frac{\pi}{3}$. При $k=-1$ число будет меньше ($-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$). Следовательно, наибольшее отрицательное число равно $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: наименьшее положительное число: $\frac{5\pi}{3}$, наибольшее отрицательное число: $-\frac{\pi}{3}$.

Для точки $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$ мы ищем число $t$, для которого $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что точка находится во второй координатной четверти. Основное значение угла, принадлежащее промежутку $[0, 2\pi)$, равно $t_0 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Множество всех чисел, соответствующих данной точке, задается формулой $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти наименьшее положительное число ($t>0$), подставим $k=0$: $t = \frac{5\pi}{6}$. Это положительное число и является наименьшим, так как при $k>0$ числа будут больше, а при $k<0$ — отрицательными.

Чтобы найти наибольшее отрицательное число ($t<0$), подставим $k=-1$: $t = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$. При $k=-2$ число будет еще меньше. Следовательно, наибольшее отрицательное число равно $-\frac{7\pi}{6}$.

Ответ: наименьшее положительное число: $\frac{5\pi}{6}$, наибольшее отрицательное число: $-\frac{7\pi}{6}$.

Для точки $M(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ мы ищем число $t$, для которого $\cos(t) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отрицательные значения косинуса и синуса указывают на то, что точка находится в третьей координатной четверти. Основное значение угла, принадлежащее промежутку $(-\pi, \pi]$, равно $t_0 = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$. Множество всех чисел, соответствующих данной точке, задается формулой $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти наименьшее положительное число ($t>0$), подставим $k=1$: $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{-2\pi + 6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Это наименьшее положительное значение.

Чтобы найти наибольшее отрицательное число ($t<0$), подставим $k=0$: $t = -\frac{2\pi}{3}$. Это наибольшее отрицательное значение, так как при $k<0$ числа будут еще меньше.

Ответ: наименьшее положительное число: $\frac{4\pi}{3}$, наибольшее отрицательное число: $-\frac{2\pi}{3}$.