Номер 11.32, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.32. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки $M(t)$, заданные формулой и принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$:

a) $t=(-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$;

б) $t=\pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

в) $t=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

г) $t=\pm \frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$.

а) Для нахождения точек $M(t)$, заданных формулой $t = (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$, и принадлежащих отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} \le (-1)^n \frac{1}{15} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$

Умножим все части на 30, чтобы избавиться от дробей:

$-15 \le 2(-1)^n + 10n \le 15$

Рассмотрим два случая:

1. $n$ — четное число. Пусть $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $(-1)^n = 1$.

$-15 \le 2 + 10(2k) \le 15$

$-17 \le 20k \le 13$

$-\frac{17}{20} \le k \le \frac{13}{20}$

Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — это $k=0$. Следовательно, $n = 2 \cdot 0 = 0$.

При $n=0$: $t = (-1)^0 \frac{\pi}{15} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{15}$.

2. $n$ — нечетное число. Пусть $n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $(-1)^n = -1$.

$-15 \le -2 + 10(2k+1) \le 15$

$-15 \le -2 + 20k + 10 \le 15$

$-15 \le 8 + 20k \le 15$

$-23 \le 20k \le 7$

$-\frac{23}{20} \le k \le \frac{7}{20}$

Целые значения $k$ в этом промежутке: $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1$, $n = 2(-1)+1 = -1$. Тогда $t = (-1)^{-1} \frac{\pi}{15} + \frac{\pi(-1)}{3} = -\frac{\pi}{15} - \frac{5\pi}{15} = -\frac{6\pi}{15} = -\frac{2\pi}{5}$.

При $k=0$, $n = 2(0)+1 = 1$. Тогда $t = (-1)^{1} \frac{\pi}{15} + \frac{\pi(1)}{3} = -\frac{\pi}{15} + \frac{5\pi}{15} = \frac{4\pi}{15}$.

Таким образом, мы нашли три точки: $\frac{\pi}{15}$, $-\frac{2\pi}{5}$, $\frac{4\pi}{15}$.

На числовой прямой эти точки отмечаются в соответствии с их значениями в интервале $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

На числовой окружности отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ соответствует правой полуокружности. Точка $M(\frac{\pi}{15})$ и $M(\frac{4\pi}{15})$ находятся в первой четверти, а точка $M(-\frac{2\pi}{5})$ — в четвертой.

Ответ: $t_1 = -\frac{2\pi}{5}$, $t_2 = \frac{\pi}{15}$, $t_3 = \frac{4\pi}{15}$.

б) Для формулы $t = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ можно заметить, что она задает все точки вида $\frac{k\pi}{8}$, где $k$ — нечетное целое число.

Решим неравенство для $t$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{k\pi}{8} \le \frac{\pi}{2}$

Разделим на $\pi$ и умножим на 8:

$-4 \le k \le 4$

Выберем все нечетные целые значения $k$ из этого промежутка: $k = -3, -1, 1, 3$.

Найдем соответствующие значения $t$:

При $k=-3$: $t = -\frac{3\pi}{8}$.

При $k=-1$: $t = -\frac{\pi}{8}$.

При $k=1$: $t = \frac{\pi}{8}$.

При $k=3$: $t = \frac{3\pi}{8}$.

На числовой прямой отмечаем эти четыре точки.

На числовой окружности все четыре точки лежат на правой полуокружности: $M(\frac{\pi}{8})$ и $M(\frac{3\pi}{8})$ в первой четверти, $M(-\frac{\pi}{8})$ и $M(-\frac{3\pi}{8})$ в четвертой.

Ответ: $t = \pm\frac{\pi}{8}, \pm\frac{3\pi}{8}$.

в) Для формулы $t = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ решим неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le (-1)^{n+1}\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \le \frac{\pi}{2}$

Разделив на $\pi$ и умножив на 8, получим:

$-4 \le (-1)^{n+1} + 2n \le 4$

1. $n$ — четное, $n=2k$. Тогда $n+1$ — нечетное, и $(-1)^{n+1} = -1$.

$-4 \le -1 + 2(2k) \le 4 \implies -3 \le 4k \le 5 \implies -0.75 \le k \le 1.25$.

Целые $k$: $0, 1$. Это дает $n=0$ и $n=2$.

При $n=0$: $t = (-1)^1 \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.

При $n=2$: $t = (-1)^3 \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8}$.

2. $n$ — нечетное, $n=2k+1$. Тогда $n+1$ — четное, и $(-1)^{n+1} = 1$.

$-4 \le 1 + 2(2k+1) \le 4 \implies -4 \le 3 + 4k \le 4 \implies -7 \le 4k \le 1 \implies -1.75 \le k \le 0.25$.

Целые $k$: $-1, 0$. Это дает $n=-1$ и $n=1$.

При $n=-1$: $t = (-1)^0 \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.

При $n=1$: $t = (-1)^2 \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$.

Получаем две уникальные точки.

На числовой прямой отмечаем точки $-\frac{\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{8}$.

На числовой окружности точка $M(-\frac{\pi}{8})$ находится в четвертой четверти, а $M(\frac{3\pi}{8})$ — в первой.

Ответ: $t_1 = -\frac{\pi}{8}$, $t_2 = \frac{3\pi}{8}$.

г) Рассмотрим две серии точек $t = \pm\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$.

1. Для $t = \frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le \frac{3}{7} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$

$-\frac{13}{14} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{14} \implies -\frac{39}{14} \le n \le \frac{3}{14}$.

Целые значения $n$: $-2, -1, 0$.

При $n=-2$: $t = \frac{3\pi}{7} - \frac{2\pi}{3} = \frac{9\pi - 14\pi}{21} = -\frac{5\pi}{21}$.

При $n=-1$: $t = \frac{3\pi}{7} - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - 7\pi}{21} = \frac{2\pi}{21}$.

При $n=0$: $t = \frac{3\pi}{7}$.

2. Для $t = -\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le -\frac{3}{7} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{14} \le \frac{n}{3} \le \frac{13}{14} \implies -\frac{3}{14} \le n \le \frac{39}{14}$.

Целые значения $n$: $0, 1, 2$.

При $n=0$: $t = -\frac{3\pi}{7}$.

При $n=1$: $t = -\frac{3\pi}{7} + \frac{\pi}{3} = \frac{-9\pi + 7\pi}{21} = -\frac{2\pi}{21}$.

При $n=2$: $t = -\frac{3\pi}{7} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-9\pi + 14\pi}{21} = \frac{5\pi}{21}$.

Объединяя решения из обеих серий, получаем шесть точек.

На числовой прямой отмечаем точки $\pm \frac{2\pi}{21}$, $\pm \frac{5\pi}{21}$, $\pm \frac{3\pi}{7}$.

На числовой окружности три точки лежат в первой четверти и три — в четвертой, все на правой полуокружности.

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{21}, \pm \frac{5\pi}{21}, \pm \frac{3\pi}{7}$.