Номер 11.33, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.33. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки $M(t)$, заданные формулой и принадлежащие отрезку $[-2; 4]$:

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

в) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

г) $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{4}$.

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Необходимо найти все значения $t$, удовлетворяющие формуле и принадлежащие отрезку $[-2; 4]$. Для этого решим двойное неравенство $-2 \le t \le 4$. Разобьем решение на две серии.

1) Для серии $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$:
$-2 \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le 4$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{2}{\pi} \le \frac{1}{6} + n \le \frac{4}{\pi}$
Вычтем $\frac{1}{6}$:
$-\frac{2}{\pi} - \frac{1}{6} \le n \le \frac{4}{\pi} - \frac{1}{6}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получим:
$-0.637 - 0.167 \le n \le 1.274 - 0.167$
$-0.804 \le n \le 1.107$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$, $t = \frac{\pi}{6}$.
При $n=1$, $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

2) Для серии $t = -\frac{\pi}{6} + \pi n$:
$-2 \le -\frac{\pi}{6} + \pi n \le 4$
$-\frac{2}{\pi} \le -\frac{1}{6} + n \le \frac{4}{\pi}$
$-\frac{2}{\pi} + \frac{1}{6} \le n \le \frac{4}{\pi} + \frac{1}{6}$
$-0.637 + 0.167 \le n \le 1.274 + 0.167$
$-0.47 \le n \le 1.441$
Целочисленные значения $n$: $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$, $t = -\frac{\pi}{6}$.
При $n=1$, $t = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат четыре точки: $t = -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $-0.52, 0.52, 2.62, 3.67$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют четыре различные точки: $M(-\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{5\pi}{6})$, $M(\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$. На числовой окружности отмечены точки $M(-\frac{\pi}{6}), M(\frac{\pi}{6}), M(\frac{5\pi}{6}), M(\frac{7\pi}{6})$.

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим случаи для четных и нечетных $n$.

1) Если $n$ четное, $n=2k$ для $k \in \mathbb{Z}$:
$t = (-1)^{2k} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2k)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Решим неравенство $-2 \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le 4$:
$-\frac{2}{\pi} \le \frac{1}{4} + k \le \frac{4}{\pi}$
$-\frac{2}{\pi} - \frac{1}{4} \le k \le \frac{4}{\pi} - \frac{1}{4}$
$-0.637 - 0.25 \le k \le 1.274 - 0.25$
$-0.887 \le k \le 1.024$
Целочисленные значения $k$: $k=0$ и $k=1$.
При $k=0$ ($n=0$), $t = \frac{\pi}{4}$.
При $k=1$ ($n=2$), $t = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

2) Если $n$ нечетное, $n=2k+1$ для $k \in \mathbb{Z}$:
$t = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2k+1)}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Это та же формула, что и для четных $n$. Соответственно, мы получим те же значения $t$. При $k=0$ ($n=1$), $t = \frac{\pi}{4}$.
При $k=1$ ($n=3$), $t = \frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат две точки: $t = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $0.785, 3.925$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют две диаметрально противоположные точки: $M(\frac{\pi}{4})$ и $M(\frac{5\pi}{4})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$. На числовой окружности отмечены точки $M(\frac{\pi}{4}), M(\frac{5\pi}{4})$.

в) $t = \pm \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим две серии решений.

1) Для серии $t = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$:
$-2 \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 4$
$-\frac{2}{\pi} \le \frac{3}{4} + \frac{n}{2} \le \frac{4}{\pi}$
$-\frac{4}{\pi} - \frac{3}{2} \le n \le \frac{8}{\pi} - \frac{3}{2}$
$-1.274 - 1.5 \le n \le 2.548 - 1.5$
$-2.774 \le n \le 1.048$
Целочисленные значения $n$: $-2, -1, 0, 1$.
При $n=-2$, $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$.
При $n=-1$, $t = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
При $n=0$, $t = \frac{3\pi}{4}$.
При $n=1$, $t = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}$.

2) Для серии $t = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$:
$-2 \le -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 4$
$-\frac{4}{\pi} + \frac{3}{2} \le n \le \frac{8}{\pi} + \frac{3}{2}$
$-1.274 + 1.5 \le n \le 2.548 + 1.5$
$0.226 \le n \le 4.048$
Целочисленные значения $n$: $1, 2, 3, 4$.
При $n=1$, $t = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.
При $n=2$, $t = -\frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4}$.
При $n=3$, $t = -\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.
При $n=4$, $t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.
Все полученные значения совпадают со значениями из первой серии.

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат четыре точки: $t = -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $-0.785, 0.785, 2.356, 3.925$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют четыре точки, являющиеся вершинами вписанного квадрата: $M(-\frac{\pi}{4})$, $M(\frac{\pi}{4})$, $M(\frac{3\pi}{4})$, $M(\frac{5\pi}{4})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$. На числовой окружности отмечены точки $M(-\frac{\pi}{4}), M(\frac{\pi}{4}), M(\frac{3\pi}{4}), M(\frac{5\pi}{4})$.

г) $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Поскольку решение неравенства аналитически затруднено, подставим целочисленные значения $n$ и проверим, попадает ли $t$ в отрезок $[-2; 4]$. Используем $\pi \approx 3.14$.

$n=-4: t = (-1)^{-3}\frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19 < -2$. (не подходит)
$n=-3: t = (-1)^{-2}\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{12} \approx -1.31$. (подходит)
$n=-2: t = (-1)^{-1}\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62 < -2$. (не подходит)
$n=-1: t = (-1)^{0}\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \approx 0.26$. (подходит)
$n=0: t = (-1)^{1}\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05$. (подходит)
$n=1: t = (-1)^{2}\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} \approx 1.83$. (подходит)
$n=2: t = (-1)^{3}\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \approx 0.52$. (подходит)
$n=3: t = (-1)^{4}\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \approx 3.40$. (подходит)
$n=4: t = (-1)^{5}\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. (подходит)
$n=5: t = (-1)^{6}\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{19\pi}{12} \approx 4.97 > 4$. (не подходит)
$n=6: t = (-1)^{7}\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67$. (подходит)
$n=7: t = (-1)^{8}\frac{\pi}{3} + \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{7\pi}{4} = \frac{25\pi}{12} \approx 6.54 > 4$. (не подходит)

Таким образом, на отрезке $[-2; 4]$ лежат восемь точек. Расположим их в порядке возрастания: $-\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{12}, \frac{2\pi}{3}, \frac{13\pi}{12}, \frac{7\pi}{6}$.

На числовой прямой это точки с координатами (приблизительно): $-1.31, -1.05, 0.26, 0.52, 1.83, 2.09, 3.40, 3.67$.

На числовой окружности этим значениям $t$ соответствуют восемь различных точек: $M(-\frac{5\pi}{12})$, $M(-\frac{\pi}{3})$, $M(\frac{\pi}{12})$, $M(\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{7\pi}{12})$, $M(\frac{2\pi}{3})$, $M(\frac{13\pi}{12})$, $M(\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: На числовой прямой отмечены точки $-\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{12}, \frac{2\pi}{3}, \frac{13\pi}{12}, \frac{7\pi}{6}$. На числовой окружности отмечены соответствующие им 8 точек.