Номер 12.21, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите на числовой окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют:

12.21. а) $x > 0;$

б) $x < \frac{1}{2};$

в) $x > \frac{1}{2};$

г) $x < 0.$

На числовой окружности координата $x$ точки, соответствующей числу $t$, равна косинусу этого числа: $x = \cos(t)$. Задача сводится к решению тригонометрических неравенств относительно $t$.

а) $x > 0$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) > 0$. Найдём на числовой окружности точки, для которых абсцисса положительна. Это дуга, расположенная в правой полуплоскости, то есть в I и IV четвертях. Граничными точками являются те, где абсцисса равна нулю: $x = \cos(t) = 0$. Это происходит при $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, неравенству удовлетворяют все точки на дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, не включая концы. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $x < \frac{1}{2}$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) < \frac{1}{2}$. Найдём на числовой окружности точки, для которых абсцисса равна $\frac{1}{2}$. Это происходит при $t = \frac{\pi}{3}$ (в I четверти) и $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $t = \frac{5\pi}{3}$ в IV четверти). Неравенству $\cos(t) < \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки, лежащие на большей дуге окружности, расположенной левее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Если двигаться по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $t = \frac{\pi}{3}$ и заканчивается в точке $t = \frac{5\pi}{3}$. Запишем общее решение с учётом периодичности.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $x > \frac{1}{2}$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) > \frac{1}{2}$. Как и в предыдущем пункте, граничными точками являются $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$. Неравенству $\cos(t) > \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки, лежащие на меньшей дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$. Запишем общее решение с учётом периодичности.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $x < 0$

Необходимо решить неравенство $\cos(t) < 0$. Найдём на числовой окружности точки, для которых абсцисса отрицательна. Это дуга, расположенная в левой полуплоскости, то есть во II и III четвертях. Граничными точками являются те, где абсцисса равна нулю: $x = \cos(t) = 0$. Это происходит при $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, неравенству удовлетворяют все точки на дуге от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$, не включая концы. Запишем общее решение с учётом периодичности.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.