Номер 9.38, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.38. а) Функция $y = g(x)$ чётная и определена на всей числовой прямой, а $f(x) = g(g(x) + 3) + g(8 + 2g(x))$. Вычислите $f(2)$, если известно, что $g(2) = -5$.

б) Функция $y = g(x)$ чётная, периодическая с основным периодом $T = 2$ и определена на всей числовой прямой, а $f(x) = g(g(x) + 1) + g(5 + 3g(x))$. Вычислите $f(3)$, если известно, что $g(3) = -4$.

в) Функция $y = g(x)$ чётная и определена на всей числовой прямой, а $f(x) = g(g(x) + 2) + g(14 + 5g(x))$. Вычислите $f(1)$, если известно, что $g(1) = -3$.

г) Функция $y = g(x)$ чётная, определена на всей числовой прямой и периодическая с основным периодом, равным 5, а $f(x) = 2g(13 - 2x) + \frac{1}{g(x^2 - 28)}$. Вычислите $f(10)$, если известно, что $g(7) = -5$.

а)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная, то есть $g(-x) = g(x)$ для любого $x$ из области определения. Нам нужно вычислить $f(2)$.

Подставим $x = 2$ в формулу для $f(x)$:

$f(2) = g(g(2) + 3) + g(8 + 2g(2))$

Известно, что $g(2) = -5$. Подставим это значение в выражение:

$f(2) = g(-5 + 3) + g(8 + 2 \cdot (-5))$

$f(2) = g(-2) + g(8 - 10)$

$f(2) = g(-2) + g(-2)$

Поскольку функция $g(x)$ чётная, $g(-2) = g(2)$. Заменим $g(-2)$ на $g(2)$:

$f(2) = g(2) + g(2) = 2g(2)$

Теперь снова используем известное значение $g(2) = -5$:

$f(2) = 2 \cdot (-5) = -10$

Ответ: $-10$

б)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная ($g(-x) = g(x)$) и периодическая с основным периодом $T = 2$ ($g(x+2n) = g(x)$ для любого целого $n$). Нам нужно вычислить $f(3)$.

Подставим $x = 3$ в формулу для $f(x)$:

$f(3) = g(g(3) + 1) + g(5 + 3g(3))$

Известно, что $g(3) = -4$. Подставим это значение:

$f(3) = g(-4 + 1) + g(5 + 3 \cdot (-4))$

$f(3) = g(-3) + g(5 - 12)$

$f(3) = g(-3) + g(-7)$

Используем свойство чётности функции $g(x)$:

$g(-3) = g(3)$

$g(-7) = g(7)$

Таким образом, $f(3) = g(3) + g(7)$.

Теперь используем свойство периодичности функции $g(x)$ с периодом $T=2$ для нахождения $g(7)$. Аргумент 7 можно представить как $3 + 2 \cdot 2$:

$g(7) = g(3 + 2 \cdot 2) = g(3)$

Подставим $g(7) = g(3)$ в выражение для $f(3)$:

$f(3) = g(3) + g(3) = 2g(3)$

Используя известное значение $g(3) = -4$, получаем:

$f(3) = 2 \cdot (-4) = -8$

Ответ: $-8$

в)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная, что означает $g(-x) = g(x)$. Требуется вычислить $f(1)$.

Подставим $x = 1$ в формулу для $f(x)$:

$f(1) = g(g(1) + 2) + g(14 + 5g(1))$

Известно, что $g(1) = -3$. Подставим это значение:

$f(1) = g(-3 + 2) + g(14 + 5 \cdot (-3))$

$f(1) = g(-1) + g(14 - 15)$

$f(1) = g(-1) + g(-1)$

Так как функция $g(x)$ чётная, то $g(-1) = g(1)$.

Следовательно, $f(1) = g(1) + g(1) = 2g(1)$.

Подставляем известное значение $g(1) = -3$:

$f(1) = 2 \cdot (-3) = -6$

Ответ: $-6$

г)

По условию, функция $y = g(x)$ — чётная ($g(-x) = g(x)$) и периодическая с периодом $T=5$ ($g(x+5n) = g(x)$ для любого целого $n$). Нам нужно вычислить $f(10)$.

Подставим $x = 10$ в формулу для $f(x)$:

$f(10) = 2g(13 - 2 \cdot 10) + \frac{1}{g(10^2 - 28)}$

Упростим аргументы функции $g$:

$f(10) = 2g(13 - 20) + \frac{1}{g(100 - 28)}$

$f(10) = 2g(-7) + \frac{1}{g(72)}$

Используем свойства функции $g(x)$ для вычисления $g(-7)$ и $g(72)$.

Из свойства чётности: $g(-7) = g(7)$. По условию $g(7) = -5$, значит $g(-7) = -5$.

Из свойства периодичности с $T=5$ найдём значение $g(72)$. Представим 72 в виде $x_0 + 5n$, где $x_0$ — это значение, для которого мы знаем значение функции. Мы знаем $g(7)$. Аргумент 72 можно связать с 7 следующим образом:

$72 = 7 + 65 = 7 + 13 \cdot 5$.

Таким образом, $g(72) = g(7 + 13 \cdot 5) = g(7)$.

Так как $g(7) = -5$, то $g(72) = -5$.

Теперь подставим найденные значения $g(-7) = -5$ и $g(72) = -5$ в выражение для $f(10)$:

$f(10) = 2 \cdot (-5) + \frac{1}{-5}$

$f(10) = -10 - \frac{1}{5} = -10 - 0.2 = -10.2$

Ответ: $-10.2$