Номер 10.1, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.1. Дано равенство $y = \frac{x^2}{x^2+1}$. Выразите из этого равенства $x$ через $y$, если:

а) $x \ge 0$;

б) $x \le 0$;

в) $x \ge 2$;

г) $x \le -0,21$.

Чтобы выразить x через y из данного равенства $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, необходимо решить это уравнение относительно x.

Сначала умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 + 1)$, предполагая, что $x^2 + 1 \neq 0$, что всегда верно для любых действительных x: $y \cdot (x^2 + 1) = x^2$

Раскроем скобки в левой части: $y x^2 + y = x^2$

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие $x^2$, с одной стороны, а остальные — с другой: $y = x^2 - y x^2$

Вынесем $x^2$ за скобки как общий множитель: $y = x^2 (1 - y)$

Отсюда выразим $x^2$. Для этого разделим обе части на $(1 - y)$, при условии что $1 - y \neq 0$, то есть $y \neq 1$. Заметим, что из исходного уравнения $y = \frac{x^2}{x^2+1}$ следует, что $y < 1$, так как числитель всегда меньше знаменателя (при $x \neq 0$) или равен ему (при $x=0$, $y=0$), поэтому это условие выполняется. $x^2 = \frac{y}{1 - y}$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти x. При извлечении корня появляются два возможных знака: «+» и «–». $x = \pm\sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

Выбор знака зависит от дополнительного условия, наложенного на x в каждом подпункте.

а) $x \ge 0$
Поскольку по условию x должно быть неотрицательным, мы выбираем положительный корень.
Ответ: $x = \sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

б) $x \le 0$
Поскольку по условию x должно быть неположительным, мы выбираем отрицательный корень.
Ответ: $x = -\sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

в) $x \ge 2$
Это условие является частным случаем условия $x \ge 0$. Следовательно, мы также должны выбрать положительный корень.
Ответ: $x = \sqrt{\frac{y}{1 - y}}$

г) $x \le -0,21$
Это условие является частным случаем условия $x \le 0$. Следовательно, мы должны выбрать отрицательный корень.
Ответ: $x = -\sqrt{\frac{y}{1 - y}}$